Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-10-2023 - 17:11
Tiêu đề & LaTeX
Lời giải nhungvienkimcuong, 09-10-2023 - 22:26
Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh
\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]
Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó
\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]
Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.
Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đây và đây.
Đi đến bài viết »Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-10-2023 - 17:11
Tiêu đề & LaTeX
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz) dùng cái này ra rồi rút gọn rồi lấy 1 chia cho cả hai vế rút gọn xong tìm A ra GTNN là 3/2 (tôi cx không bt đúng hay sai nếu sai mong mọi người giúp đỡ)
Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh
\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]
Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó
\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]
Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.
Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đây và đây.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2023 - 22:28
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
hay
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 10-10-2023 - 15:30
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
bài này tui làm vậy dc ko: a,b,c là các số thực không âm thỏa a+b+c<= 3, vai trò a,b,c như nhau nên giả sử 0<a,b,c<=1
do đó: a^+b^<=a+b<=2 suy ra 1/a^+b^>=1/2 tương tự A>=3/2. dấu = khi và chỉ khi a=b=c=1
$a=2,b=1,c=0$ thì sao bạn?
Tìm cách khác, chưa ra, tuy vậy mình có được bất đẳng thức khá hay dưới đây.
Với điều kiện $a \geq b \geq c \geq 0 $ ta có $$\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \geq \frac{1}{ \left(\frac{a+b}{2} \right)^2+c^2}.$$
Bất đẳng thức trên đúng vì tương đương với $$ (a-b)^2\left[ \frac{(a+b)^2+2ab-2c^2}{4}\right] \geq 0$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 18-10-2023 - 13:06
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh