Chủ đề này có 1 trả lời

[tkd23112006]

Cho tứ diện ABCD. R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp. CMR:            $R\geq 3r$
 

[perfectstrong]

Đây là hệ quả của định lý Euler cho tứ diện. Còn gọi là bất đẳng thức Grace-Danielsson:

Định lý

$d^2=R(R-2r)$ với $R,r,d$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và khoảng cách hai tâm ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác.

Định lý

Với mọi hai khối cầu có bán kính $R, r (R > r)$, tồn tại một tứ diện nội tiếp khối cầu lớn và ngoại tiếp khối cầu nhỏ khi và chỉ khi $d^2 \le (R+r)(R-3r)$ (với $d$ là khoảng cách hai tâm của hai khối cầu).

Ở các chiều không gian lớn hơn $n=4,5,\ldots$, thì đây được gọi là giả thuyết Egan https://en.wikipedia...Egan_conjecture

Mệnh đề

$d^2 \le (R+(n-2)r)(R-nr)$

được đề xuất lần đầu tiên vào 2014 với chiều thuận được chứng minh bởi chính Egan năm 2018 https://blogs.ams.or...son-inequality/

Điều thú vị là chiều đảo mới được chứng minh gần đây vào 2023 https://arxiv.org/abs/2310.10816.