Đến nội dung

Hình ảnh

Tính: $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 16-10-2023 - 09:28

$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$

Đầu tiên nhắc lại khai triển Abel với công thức

\[\sum_{n=1}^Ka_nb_n=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ (a_n-a_{n+1})\sum_{i=1}^nb_i\right ]+a_K\sum_{i=1}^Kb_i.\]

Áp dụng khai triển trên ta có

\[\begin{align*}\sum_{n=1}^KH_{n+2}\cdot\frac{1}{n(n+1)}&=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ \left(H_{n+2}-H_{n+3}\right)\sum_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}\right ]+H_{K+2}\sum_{i=1}^K\frac{1}{i(i+1)}\\ &=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ \frac{-1}{n+3}\sum_{i=1}^n\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right )\right ]+H_{K+2}\sum_{i=1}^K\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right )\\&=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ \frac{-1}{n+3}\left( 1-\frac{1}{n+1}\right )\right ]+H_{K+2}\left( 1-\frac{1}{K+1}\right )\\&=-\sum_{n=4}^{K+2}\frac{1}{n}+\sum_{n=2}^{K}\frac{1}{n(n+2)}+H_{K+2}\left( 1-\frac{1}{K+1}\right ).\end{align*}\]

Do vậy

\[\begin{align*} \sum_{n=1}^{K}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}&=\left( -H_{K+2}+\frac{11}{6}\right )+\left[\frac{-1}{2}\left ( \frac{1}{K+1}+\frac{1}{K+2} \right )+\frac{5}{12} \right ]+H_{K+2}\left( 1-\frac{1}{K+1}\right )\\&=-\frac{H_{K+2}}{K+1}-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{K+1}+\frac{1}{K+2} \right )+\frac{9}{4}.\end{align*}\]

Từ kết quả của chuỗi điều hòa ta có $H_{K+2}\le \ln(K+2)+1$, dẫn đến

\[\lim_{K\to \infty}\sum_{n=1}^{K}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}=\frac{9}{4}.\]

Tổng $\sum\frac{S_{n+2}}{n(n+1)}$ tính tương tự.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 31-12-2023 - 07:29

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết


dẫn đến
\[\lim_{K\to \infty}\sum_{n=1}^{K}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}=\frac{9}{4}.\]
Tổng $\sum\frac{S_{n+2}}{n(n+1)}$ tính tương tự.

Một cách làm hoàn toàn tương tự chỉ hơi khác về cách phát biểu:
Thật vậy: Xin được nhắc lại một chút về công thức Summation by parts
Xét tổng riêng (thành phần đầu)
$A_m=\sum_{n=1}^m \dfrac{16H_{n+2}}{n(n+1)}$
Ta có: $\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=-\Delta\left(\frac{1}{n}\right)$
Và $\Delta\left(-16H_{n+2}\right)=-\dfrac{16}{n+3}$
Do đó áp dụng công thức SPTP ta được:
\begin{align*} A_m &= \left. \dfrac{-16H_{n+2}}{n}\right|_1^{m+1} - \sum_{n=1}^m \dfrac{-16}{(n+1)(n+3)} \\ &= -\dfrac{16H_{m+3}}{m+1}+\dfrac{16}{1}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+8\sum_{n=1}^m \left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+3}\right) \\ &= \dfrac{88}{3}+8\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{m+2}-\dfrac{1}{m+3}\right) - \dfrac{16H_{m+3}}{m+1} \end{align*}
Chuyển qua giới hạn, ta được:
$\lim\limits_{m \to \infty} A_m = \dfrac{88}{3}+\dfrac{20}{3}=36$
Lý do là bởi hàm Harmonic “tương đương” với Logarith “tất nhiên” nó có “bậc” nhỏ hơn 1 rồi.
Tham khảo thêm tại đây
Bấm máy cho phần còn lại của tổng thì được kết quả là
$3\pi^2 -81$
Như vậy tổng đã cho có kết quả chính xác là $\boxed{\large 3\pi^2-45}$
Nhưng không có nghĩa là thành phần thứ 2 dễ tính đâu nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-12-2023 - 19:56





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh