Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 16-10-2023 - 09:28
Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 16-10-2023 - 09:28
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Cho $H_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ và $S_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$. Tính giá trị của:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{16H_{n+2}-36S_{n+2}}{n(n+1)}.$$
Đầu tiên nhắc lại khai triển Abel với công thức
\[\sum_{n=1}^Ka_nb_n=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ (a_n-a_{n+1})\sum_{i=1}^nb_i\right ]+a_K\sum_{i=1}^Kb_i.\]
Áp dụng khai triển trên ta có
\[\begin{align*}\sum_{n=1}^KH_{n+2}\cdot\frac{1}{n(n+1)}&=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ \left(H_{n+2}-H_{n+3}\right)\sum_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}\right ]+H_{K+2}\sum_{i=1}^K\frac{1}{i(i+1)}\\ &=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ \frac{-1}{n+3}\sum_{i=1}^n\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right )\right ]+H_{K+2}\sum_{i=1}^K\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right )\\&=\sum_{n=1}^{K-1}\left[ \frac{-1}{n+3}\left( 1-\frac{1}{n+1}\right )\right ]+H_{K+2}\left( 1-\frac{1}{K+1}\right )\\&=-\sum_{n=4}^{K+2}\frac{1}{n}+\sum_{n=2}^{K}\frac{1}{n(n+2)}+H_{K+2}\left( 1-\frac{1}{K+1}\right ).\end{align*}\]
Do vậy
\[\begin{align*} \sum_{n=1}^{K}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}&=\left( -H_{K+2}+\frac{11}{6}\right )+\left[\frac{-1}{2}\left ( \frac{1}{K+1}+\frac{1}{K+2} \right )+\frac{5}{12} \right ]+H_{K+2}\left( 1-\frac{1}{K+1}\right )\\&=-\frac{H_{K+2}}{K+1}-\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{K+1}+\frac{1}{K+2} \right )+\frac{9}{4}.\end{align*}\]
Từ kết quả của chuỗi điều hòa ta có $H_{K+2}\le \ln(K+2)+1$, dẫn đến
\[\lim_{K\to \infty}\sum_{n=1}^{K}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}=\frac{9}{4}.\]
Tổng $\sum\frac{S_{n+2}}{n(n+1)}$ tính tương tự.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 31-12-2023 - 07:29
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Một cách làm hoàn toàn tương tự chỉ hơi khác về cách phát biểu:…
dẫn đến
\[\lim_{K\to \infty}\sum_{n=1}^{K}\frac{H_{n+2}}{n(n+1)}=\frac{9}{4}.\]
Tổng $\sum\frac{S_{n+2}}{n(n+1)}$ tính tương tự.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-12-2023 - 19:56
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh