Chủ đề này có 1 trả lời

[pcoVietnam]

   Trong một giải thi đấu thể thao, một môn thể thao có $x$ huy chương được phát trong $n$ ngày thi đấu. Ngày thứ nhất người ta phát một huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Ngày thứ hai người ta phát hai huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Cứ tiếp tục, ngày thứ $k$ người ta phát $k$ $(3 \leq k \leq n )$ huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Ngày sau cùng, còn lại $n$ huy chương để phát. Hỏi môn thể thao đó có tất cả bao nhiêu huy chương và phát trong bao nhiêu ngày?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam: 28-01-2021 - 21:53

[nehess]

Gọi số huy chương phát trong ngày thứ $k$ là $x_{k}$ $(1\leq k\leq n)$

Ta có: $x_{n}=n$

Số huy chương phát trong ngày thứ nhất: $x_{1}=1+\frac{x-1}{10}$ $\Rightarrow x=10(x_{1}-1)+1$

Số huy chương còn lại sau ngày thứ nhất: $x-x_{1}=9(x_{1}-1)$ 

Số huy chương còn lại sau ngày thứ $k$: $9(x_{k}-k)$

Theo giả thiết: $x_{k+1}=k+1+\frac{9(x_{k}-k)-(k+1)}{10}$$=\frac{9}{10}x_{k}+\frac{9}{10}$

$\Leftrightarrow x_{k+1}-9=\frac{9}{10}(x_{k}-9) \Leftrightarrow u_{k+1}=\frac{9}{10}u_{k}$ (với $u_{k}=x_{k}-9$$,1\leq k\leq n$)

Chú ý: $u_{1}=x_{1}-9=\frac{x-81}{10}$

Suy ra: $u_{k}=\frac{9^{k-1}}{10^{k}}(x-81)$

$\Rightarrow x_{k}=\frac{9^{k-1}}{10^{k}}(x-81)+9$

Vì $x_{n}=n$ $\Rightarrow n=\frac{9^{n-1}}{10^{n}}(x-81)+9$

$\Leftrightarrow 10^{n}(n-9)=9^{n-1}(x-81) \Rightarrow x\geq 81 ; n\geq 9 \Rightarrow (n-9)\vdots 9^{n-1}$

mà $9^{n-1}> (n-9) , n\geq 9$

Suy ra: $n-9=0 \Leftrightarrow n=9\Rightarrow x=81$

 

P/s: Bạn nên up bài này bên phần Tổ hợp của Toán HSG, Olympic nhé

Toán thi Học sinh giỏi và Olympic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nehess: 05-02-2021 - 11:34