Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Hỏi môn thể thao đó có tất cả bao nhiêu huy chương và phát trong bao nhiêu ngày?

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 pcoVietnam

pcoVietnam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, tổ hợp đếm và EM

Đã gửi 27-01-2021 - 22:39

   Trong một giải thi đấu thể thao, một môn thể thao có $x$ huy chương được phát trong $n$ ngày thi đấu. Ngày thứ nhất người ta phát một huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Ngày thứ hai người ta phát hai huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Cứ tiếp tục, ngày thứ $k$ người ta phát $k$ $(3 \leq k \leq n )$ huy chương và một phần mười số huy chương còn lại. Ngày sau cùng, còn lại $n$ huy chương để phát. Hỏi môn thể thao đó có tất cả bao nhiêu huy chương và phát trong bao nhiêu ngày?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam: 28-01-2021 - 21:53


#2 nehess

nehess

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 05-02-2021 - 11:31

Gọi số huy chương phát trong ngày thứ $k$ là $x_{k}$ $(1\leq k\leq n)$

Ta có: $x_{n}=n$

Số huy chương phát trong ngày thứ nhất: $x_{1}=1+\frac{x-1}{10}$ $\Rightarrow x=10(x_{1}-1)+1$

Số huy chương còn lại sau ngày thứ nhất: $x-x_{1}=9(x_{1}-1)$ 

Số huy chương còn lại sau ngày thứ $k$: $9(x_{k}-k)$

Theo giả thiết: $x_{k+1}=k+1+\frac{9(x_{k}-k)-(k+1)}{10}$$=\frac{9}{10}x_{k}+\frac{9}{10}$

$\Leftrightarrow x_{k+1}-9=\frac{9}{10}(x_{k}-9) \Leftrightarrow u_{k+1}=\frac{9}{10}u_{k}$ (với $u_{k}=x_{k}-9$$,1\leq k\leq n$)

Chú ý: $u_{1}=x_{1}-9=\frac{x-81}{10}$

Suy ra: $u_{k}=\frac{9^{k-1}}{10^{k}}(x-81)$

$\Rightarrow x_{k}=\frac{9^{k-1}}{10^{k}}(x-81)+9$

Vì $x_{n}=n$ $\Rightarrow n=\frac{9^{n-1}}{10^{n}}(x-81)+9$

$\Leftrightarrow 10^{n}(n-9)=9^{n-1}(x-81) \Rightarrow x\geq 81 ; n\geq 9 \Rightarrow (n-9)\vdots 9^{n-1}$

mà $9^{n-1}> (n-9) , n\geq 9$

Suy ra: $n-9=0 \Leftrightarrow n=9\Rightarrow x=81$

 

P/s: Bạn nên up bài này bên phần Tổ hợp của Toán HSG, Olympic nhé

Toán thi Học sinh giỏi và Olympic

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nehess: 05-02-2021 - 11:34






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh