Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x,y>2$ phân biệt sao cho:
$$x^{2021}+y!=y^{2021}+x!$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-10-2023 - 18:23
Tiêu đề & LaTeX
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x,y>2$ phân biệt sao cho:
$$x^{2021}+y!=y^{2021}+x!$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-10-2023 - 18:23
Tiêu đề & LaTeX
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x,y>2$ phân biệt sao cho:
$$x^{2021}+y!=y^{2021}+x!$$
Bài này ý tưởng rõ ràng, tuy nhiên lúc làm chi tiết cũng khá mắc công.
Đặt $m=2021$ và giả sử $x<y$. Lời giải xuất phát từ nhận xét: xét $p$ là ước nguyên tố bất kì của $x$, từ giả thiết suy ra $p\mid y$, do vậy
\begin{equation}\label{a} m\le v_p(y^m-x^m)=v_p(y!-x!)=v_p(x!)<\frac{x}{p-1}.\end{equation}
Xét hàm số $f\colon \mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}$ được xác định bởi $f(k)=k^m-k!$. Khi đó hàm $f$ nhận giá trị âm và giảm ngặt trong khoảng $(2m-1,+\infty)$.
Xét trường hợp $p\ge 3$, từ \eqref{a} ta có $x>2m$, kết hợp với Theorem suy ra $f(x)> f(y)$.
Vậy chỉ còn trường hợp $x$ là lũy thừa của $2$, cũng từ \eqref{a} thì $x>m$. Đương nhiên $y$ chẵn, xét $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $y$.
Ghi chú. Một số bài toán tương tự có thể kể đến như sau
Bài 1 (Trung Âu 2015). Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn
$$a!+b!=a^b+b^a.$$
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ là bội của $n^2$.
Bài 3 (IMO 2019). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k,n)$ sao cho
$$k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-10-2023 - 08:31
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Bài này ý tưởng rõ ràng, tuy nhiên lúc làm chi tiết cũng khá mắc công.
Đặt $m=2021$ và giả sử $x<y$. Lời giải xuất phát từ nhận xét: xét $p$ là ước nguyên tố bất kì của $x$, từ giả thiết suy ra $p\mid y$, do vậy
\begin{equation}\label{a} m\le v_p(y^m-x^m)=v_p(y!-x!)=v_p(x!)<\frac{x}{p-1}.\end{equation}
Xét hàm số $f\colon \mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}$ được xác định bởi $f(k)=k^m-k!$. Khi đó hàm $f$ nhận giá trị âm và giảm ngặt trong khoảng $(2m-1,+\infty)$.
Xét trường hợp $p\ge 3$, từ \eqref{a} ta có $x>2m$, kết hợp với Theorem suy ra $f(x)> f(y)$.
Vậy chỉ còn trường hợp $x$ là lũy thừa của $2$, cũng từ \eqref{a} thì $x>m$. Đương nhiên $y$ chẵn, xét $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $y$.
- Nếu $q\le x$, từ giả thiết suy ra $q\mid x$ (vô lí).
- Với $q>x$ suy ra $y\ge 2q>2x>2m$, theo Theorem thì $f(y)<0$. Từ đây dễ thấy $f(x)$ âm hay dương cũng vô lí (trường hợp âm kết hợp với phần chứng minh của Theorem).
Ghi chú. Một số bài toán tương tự có thể kể đến như sau
Bài 1 (Trung Âu 2015). Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn
$$a!+b!=a^b+b^a.$$
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ là bội của $n^2$.
Bài 3 (IMO 2019). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k,n)$ sao cho
$$k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$$
cảm ơn bạn ! Nhưng liệu bạn có thể giải thích rõ tại sao f(x) âm lại vô lý được không ạ ?
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Số học lớp 10Bắt đầu bởi Minhcuc123, 25-10-2023 sohoc |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P= \sum\frac{1}{a^{2}+b^{2}} -\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$Bắt đầu bởi katcong, 31-05-2023 toanhoc, batdangthuc, cuctri và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$7^{x}+x^4+47=y^2 (x,y \in \mathbb{Z})$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 02-05-2022 sohoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $ord_p(a)=2t$.Bắt đầu bởi Hoang72, 16-12-2021 sohoc |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
70! > ${10^{100}}$Bắt đầu bởi Hoang Huynh, 19-09-2021 sohoc, luythua, sorayo và . |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh