Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{2021}+y!=y^{2021}+x!$

- - - - - sohoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Minhcuc123

Minhcuc123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

 Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x,y>2$ phân biệt sao cho:

$$x^{2021}+y!=y^{2021}+x!$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-10-2023 - 18:23
Tiêu đề & LaTeX


#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

 Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x,y>2$ phân biệt sao cho:

$$x^{2021}+y!=y^{2021}+x!$$

Bài này ý tưởng rõ ràng, tuy nhiên lúc làm chi tiết cũng khá mắc công.

 

Đặt $m=2021$ và giả sử $x<y$. Lời giải xuất phát từ nhận xét: xét $p$ là ước nguyên tố bất kì của $x$, từ giả thiết suy ra $p\mid y$, do vậy

\begin{equation}\label{a} m\le v_p(y^m-x^m)=v_p(y!-x!)=v_p(x!)<\frac{x}{p-1}.\end{equation} 

Mệnh đề

Xét hàm số $f\colon \mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}$ được xác định bởi $f(k)=k^m-k!$. Khi đó hàm $f$ nhận giá trị âm và giảm ngặt trong khoảng $(2m-1,+\infty)$.

Xét trường hợp $p\ge 3$, từ \eqref{a} ta có $x>2m$, kết hợp với Theorem suy ra $f(x)> f(y)$.

Vậy chỉ còn trường hợp $x$ là lũy thừa của $2$, cũng từ \eqref{a} thì $x>m$. Đương nhiên $y$ chẵn, xét $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $y$.

  • Nếu $q\le x$, từ giả thiết suy ra $q\mid x$ (vô lí).
  • Với $q>x$ suy ra $y\ge 2q>2x>2m$, theo Theorem thì $f(y)<0$. Từ đây dễ thấy $f(x)$ âm hay dương cũng vô lí (trường hợp âm kết hợp với phần chứng minh của Theorem).

 

 

Ghi chú. Một số bài toán tương tự có thể kể đến như sau

Bài 1 (Trung Âu 2015). Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn

$$a!+b!=a^b+b^a.$$

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ là bội của $n^2$.

Bài 3 (IMO 2019). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k,n)$ sao cho

$$k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 28-10-2023 - 08:31

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#3
Minhcuc123

Minhcuc123

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Bài này ý tưởng rõ ràng, tuy nhiên lúc làm chi tiết cũng khá mắc công.

 

Đặt $m=2021$ và giả sử $x<y$. Lời giải xuất phát từ nhận xét: xét $p$ là ước nguyên tố bất kì của $x$, từ giả thiết suy ra $p\mid y$, do vậy

\begin{equation}\label{a} m\le v_p(y^m-x^m)=v_p(y!-x!)=v_p(x!)<\frac{x}{p-1}.\end{equation} 

Mệnh đề

Xét hàm số $f\colon \mathbb{N}^*\to \mathbb{Z}$ được xác định bởi $f(k)=k^m-k!$. Khi đó hàm $f$ nhận giá trị âm và giảm ngặt trong khoảng $(2m-1,+\infty)$.

Xét trường hợp $p\ge 3$, từ \eqref{a} ta có $x>2m$, kết hợp với Theorem suy ra $f(x)> f(y)$.

Vậy chỉ còn trường hợp $x$ là lũy thừa của $2$, cũng từ \eqref{a} thì $x>m$. Đương nhiên $y$ chẵn, xét $q$ là một ước nguyên tố lẻ của $y$.

  • Nếu $q\le x$, từ giả thiết suy ra $q\mid x$ (vô lí).
  • Với $q>x$ suy ra $y\ge 2q>2x>2m$, theo Theorem thì $f(y)<0$. Từ đây dễ thấy $f(x)$ âm hay dương cũng vô lí (trường hợp âm kết hợp với phần chứng minh của Theorem).

 

 

Ghi chú. Một số bài toán tương tự có thể kể đến như sau

Bài 1 (Trung Âu 2015). Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn

$$a!+b!=a^b+b^a.$$

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $(n-1)!$ là bội của $n^2$.

Bài 3 (IMO 2019). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k,n)$ sao cho

$$k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1}).$$

cảm ơn bạn ! Nhưng liệu bạn có thể giải thích rõ tại sao  f(x) âm lại vô lý được không ạ ?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sohoc

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh