Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2020-2021

bđt bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 223 trả lời

#1 Syndycate

Syndycate

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{Trung tâm GDTX}}$

Đã gửi 30-01-2021 - 21:10

Chào tất cả mọi người, mình là Syndycate .Các bạn học sinh lớp 9 hầu như đã hoàn thành kì thi Học sinh giỏi tỉnh, dù kết quả thế nào cũng đừng buồn hay đừng ngủ quên trong chiến thắng bởi mùa dịch này là thời gian rất tốt để cho các bạn "lật kèo" trong kì thi THPT chuyên sắp tới đây. Chúng ta cần ôn tập và nâng cao kiến thức để có một hành trang thật tốt trước khi "ra trận".

Sau khi thảo luận với spirit1234 , mình quyết định lập topic về bất đẳng thức này.

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

++ Không spam, làm loãng TOPIC.
++ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải.

++ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài.
++ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

++ Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Hạn chế sử dụng các công cụ của bậc THPT như đạo hàm,...).
++ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

++ Sau khi lời giải của một bài toán nào đó được đưa ra thì bất kì lời giải nào giống với lời giải trước đều sẽ bị xóa, tránh làm loãng TOPIC.

++ Các bài giài đều phải trích dẫn đề bài để mọi người dễ đọc dễ hiểu 

 

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé   :D 

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn   :D 

 

 


#2 Syndycate

Syndycate

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{Trung tâm GDTX}}$

Đã gửi 30-01-2021 - 21:13

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

$\boxed{1}$ Cho $x\geq y\geq z,x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$

a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(y-z)^2$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$

 

$\boxed{2}$ Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Chứng minh: 

$\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\leq \frac{3}{2}$

 

$\boxed{3}$ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$A=4(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\geq 9$

 

$\boxed{4}$ Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

$P=x+y+z$

 

$\boxed{5}$ Với x,y là hai số thực dương và $xy\geq 6.$

a) Chứng minh rằng: $\frac{9}{9+x^2}+\frac{4}{4+y^2}\geq \frac{12}{6+xy}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T=\frac{9}{9+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+\frac{1}{3}xy$

 

$\boxed{6}$ Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$A=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$

 

$\boxed{7}$ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{9}{1-(ab+bc+ca)}+\frac{1}{4abc}$

 

$\boxed{8}$ Cho $a,b,c>0:a+b+c\geq 9$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A= 2.\sqrt{a^2+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{5}}+3.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c}}$

 

$\boxed{9}$ Cho $a,b,c$ không âm và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\geq 7$

 

$\boxed{10}$ Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4.$ Chứng minh: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-02-2021 - 23:27


#3 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Đã gửi 30-01-2021 - 21:39

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{2}$ Cho $a,b,c$ là ba số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Chứng minh: 

$\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\leq \frac{3}{2}$

 

 

Bài 2:

Có $(a^2+bc)(1+\frac{b}{c}) \geq (a+b)^2$. Từ đó suy ra:

$$\sum \frac{a}{a^2+bc}\leq \sum \frac{a(1+\frac{b}{c})}{(a+b)^2}=\sum \frac{a+\frac{ab}{c}}{(a+b)^2}=\sum \frac{ac+ab}{c(a+b)^2}\leq \sum \frac{ac+ab}{c(\sqrt{2ab})^2}=\sum \frac{ac+ab}{4abc}=\frac{2\sum ab}{4abc}=\frac{3}{2}$$


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#4 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 30-01-2021 - 21:47

snapback.png

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

Cho a,b,c dương: $ab+bc+ca=3abc$

$\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\leq \frac{3}{2}$

Bài 2 Cách 2

Từ giả thiết suy ra $\sum \frac{1}{a}=3$

Áp dụng C-S

$VT\leq \sum \frac{a}{2a\sqrt{bc}}\leq \sum \frac{1}{2a}=\frac{3}{2}$

Xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 30-01-2021 - 21:52


#5 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Đã gửi 30-01-2021 - 21:57

 

$\boxed{10}$ Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4.$ Chứng minh: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$ 

Bài 10

Ta có:

$$\sum \frac{1}{2x+y+z}= \frac{1}{16}\sum \frac{16}{x+x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{4}\sum \frac{1}{x}=1$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 30-01-2021 - 22:00

#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#6 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 30-01-2021 - 22:04

 

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

$\boxed{3}$ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$A=4(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\geq 9$

Không mất tính tổng quát

GS $a\geq b\geq c$

Theo UCT dễ dàng tìm ra được bất đẳng thức phụ sau

$4a^2-a^3\geq 3+5(a-1)\Leftrightarrow (a-1)^2(2-a)\geq 0$

Ta qui về chứng minh

$\sum (a-1)^2(2-a)\geq 0\Leftrightarrow \sum (3a-3)^2(2-a)\geq 0\Leftrightarrow (2a-b-c)^2(2-a)\geq 0\Leftrightarrow \sum (12-4a-b-c)(a-b)(a-c)\geq 0$

Mà $a\geq b\geq c$ nên

$12-4c-a-b\geq 12-4b-a-c\geq 12-4a-b-c$

Lại có $12-4a-b-c=(3-a-b-c)+(9-3a)> 0$

Vậy theo định lý 1 của bđt vornicu schur thì đã được chứng mih :)

@Syndycate: TH2 của e có vẻ sai, c>2 sao suy đc a,b,c>2, a+b+c=3 mà với $a\geq b\geq c$ 

@Chinh Minh: tks a, e đã sửa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 30-01-2021 - 23:49


#7 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Đã gửi 30-01-2021 - 22:06

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{6}$ Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$A=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$

 

Bài 6:

$2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(a+b+c)$


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#8 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 30-01-2021 - 22:09

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{6}$ Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$A=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$

 

 

Cách khác 

Áp dụng Minkowski

$\sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=\sqrt 2(a+b+c)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 30-01-2021 - 22:11


#9 ThIsMe

ThIsMe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Đã gửi 30-01-2021 - 22:14

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

$\boxed{9}$ Cho $a,b,c$ không âm và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\geq 7$

 

Bài 9:

Ta đi chứng minh: $\sqrt{5a+4}\geq a+2\Leftrightarrow 0\geq a(a-1)$ (luôn đúng).

Suy ra: $\sum \sqrt{5a+4}\geq \sum a +6=7$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và các hoán vị.


#Mathematics :D 

#Inequality :icon6: 

#Geometry :mellow: 


#10 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 30-01-2021 - 23:09

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{8}$ Cho $a,b,c>0:a+b+c\geq 9$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A= 2.\sqrt{a^2+\frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{5}}+3.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{25}{c}}$

 

 

VP$\geq 2\sqrt{\frac{(a+b+c)^{2}}{9}}+3\sqrt{\frac{81}{a+b+c}} =\frac{2(a+b+c)}{3}+\frac{27}{\sqrt{a+b+c}}\geq 2\sqrt{18\sqrt{a+b+c}}\geq 6\sqrt{6}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 30-01-2021 - 23:14

:nav:  :nav:


#11 Syndycate

Syndycate

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{Trung tâm GDTX}}$

Đã gửi 30-01-2021 - 23:56

 

Bài 3

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$A=4(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)\geq 9$

 

Cách 2: 

$\rightarrow 4(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-3(a^3+b^3+c^3)\geq 27\rightarrow a^3+b^3+c^3+\sum 4ab(a+b)\geq (a+b+c)^3\rightarrow \sum ab(a+b)\geq 6abc$ (đúng theo $AM-GM$)



#12 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 31-01-2021 - 00:03

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{5}$ Với x,y là hai số thực dương và $xy\geq 6.$

a) Chứng minh rằng: $\frac{9}{9+x^2}+\frac{4}{4+y^2}\geq \frac{12}{6+xy}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $T=\frac{9}{9+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+\frac{1}{3}xy$

 

 

a)

Biến đổi tương đương $(xy-6)(2x-3y)^2\geq 0$ luôn đúng

b)

Áp dụng câu a

$T\geq \frac{12}{xy+6}+\frac{xy}{3}\geq \frac{6}{xy}+\frac{xy}{3}=\frac{12}{xy}+\frac{xy}{3}-\frac{6}{xy}\geq 4-1=3$

Xảy ra khi $x=3$ và $y=2$



#13 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 31-01-2021 - 00:40

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{7}$ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{9}{1-(ab+bc+ca)}+\frac{1}{4abc}$

 

 

$P=\frac{9}{1-ab-bc-ac}+\frac{1}{4abc}=\frac{9}{1-ab-bc-ac}+\sum \frac{1}{4ab}\geq \frac{9}{2-2(ab+bc+ac)}+\frac{9}{2-2(ab+bc+ac)}+\frac{9}{4(ab+bc+ac)}\geq \frac{81}{4}$

Xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 31-01-2021 - 00:53


#14 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 31-01-2021 - 09:34

Sau đây là các bài tập để củng cố phần bất đẳng thức cho các bạn, các bạn nên gõ bằng phông Times New Roman với cỡ chữ 18, lưu ý trích dẫn câu hỏi rồi trả lời để tiện cho các bạn khác xem lại. Khuyến khích đưa ra thêm những bài hay do các bạn tìm được (gõ theo số thứ tự). Sau 3 ngày nếu không có ai đưa ra câu trả lời thì mình sẽ đưa ra các gợi ý của từng bài.

 

$\boxed{4}$ Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

$P=x+y+z$

 

Tìm MAX P:

Bài toán phụ

$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2ab+2bc+2ac\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$ Luôn đúng nhờ định lý dirichlet

$x^2+y^2+z^2+xyz=4\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2+2xyz+1)+x^2+y^2+z^2=9\geq (x+y+z)^2\rightarrow x+y+z\leq 3$

Xảy ra khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 31-01-2021 - 09:35


#15 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$a\perp b$

Đã gửi 31-01-2021 - 09:40

$\boxed{4}$ Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

$P=x+y+z$

+) Tìm Max:

Không mất tính tổng quát, giả sử x, y cùng phía với 1.

Khi đó ta có: $(x-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow xy\geq x + y - 1$. (1)

Theo bất đẳng thức AM - GM ta có: $4=x^2+y^2+z^2+xyz\geq 2xy+z^2+xyz$

$\Rightarrow 4-z^2\geq 2xy+2xyz$

$\Leftrightarrow (2-z)(2+z)\geq xy(2+z)$

$\Leftrightarrow 2-z\geq xy$. (2)

Từ (1), (2) suy ra $2-z\geq x+y-1\Leftrightarrow P=x+y+z\leq 3$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

+) Tìm Min:

Giả sử z = min{x, y, z}. Khi đó $z\leq 1$.

Khi đó ta có $2xy\geq z^2+xyz$ nên kết hợp với gt ta có $x^2+y^2+2xy\geq 4\Leftrightarrow x+y\geq 2\Rightarrow P=x+y+z\geq 2$.

Đẳng thức xảy ra khi x = 2; y = 0; z = 0 và các hoán vị.

Vậy Min P = 2 khi x = 2; y = 0; z = 0;

Max P = 3 khi x = y = z = 1.



#16 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$a\perp b$

Đã gửi 31-01-2021 - 10:10

$\boxed{1}$ Cho $x\geq y\geq z,x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=6$

a) Tính $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(y-z)^2$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P=|(x-y)(y-z)(z-x)|$

a) Ta có $S=(x-y)^2+(x-y)(y-z)+(y-z)^2=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{2}(x+y+z)^2=9$.

b) Đặt $x - y = a \geq 0$; $y - z = b\geq 0$.

Ta có $S=a^2+ab+b^2=9$; $P=ab(a+b)$.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có $9=a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab\geq (a+b)^2-\frac{1}{4}(a+b)^2=\frac{3}{4}(a+b)^2$.

Do đó $a+b\leq 2\sqrt{3}$; $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=3$.

Suy ra $P\leq 8\sqrt{3}$.

Đẳng thức xảy ra khi $x - y = y- z =\sqrt{3}$, tức là $x=\sqrt{3}; y = 0; z = -\sqrt{3}$.

Vậy $P_{max} =8\sqrt{3}$ khi $x=\sqrt{3}; y = 0; z = -\sqrt{3}$.

P/s: Mới 1 ngày đã hết 10 bài rồi.



#17 tthnew

tthnew

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 500 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 31-01-2021 - 10:29

$\boxed{11}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{1}{2} \left(a+b+c\right) +\dfrac{27}{16}\cdot \dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+c}$$

$\boxed{12}$ Cho $a,b,c>0;9ab+18ac+3bc\le \dfrac{18}{5}.$ Tìm $\min \left(\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{12}{c}\right)$

P/s: Góp ít bài cho TOPIC, TOPIC tạo hôm qua mà giờ mình mới thấy.  :D 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 31-01-2021 - 22:28

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

 

Tuyển tập bất đẳng thức https://diendantoanh...hi-chuyên-2021/

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#18 Syndycate

Syndycate

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textbf{Trung tâm GDTX}}$

Đã gửi 31-01-2021 - 10:34

Những bài toán tiếp theo của Topic: 

 

$\boxed{13}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc.$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

$\boxed{14}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c}{4a}$

 

$\boxed{15}$ Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $(x-y)(x-z)=1$ và $y\neq z$. Chứng minh:

$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}\geq 4$ 

 

$\boxed{16}$ Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+zx=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-zx+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}$

 

$\boxed{17}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2.$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\geq 1$

 

$\boxed{18}$ Cho tam thức $P(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực, $a<b,a\neq 0; P(x)\geq 0$. Tam thức xác định với mọi $x$ là số thực.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$T=\frac{a+b+c}{b-a}$

 

$\boxed{19}$ Cho $x,y,z>0, xyz\geq 1, z\leq 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất

$P=\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}+\frac{4-z^3}{3+3xy}$

 

$\boxed{20}$ Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+zx=3.$ Chứng minh rằng:

$P=\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$

 

$\boxed{21}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $3(a+b+c)=abc.$ Chứng minh rằng:

$\frac{b}{a^{2}}+\frac{c}{b^{2}}+\frac{a}{c^{2}}\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

 

$\boxed{22}$ Cho $a,b,c>0$ và $abc=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$S=\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}+\frac{9}{2(a+b+c)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 31-01-2021 - 21:50


#19 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 31-01-2021 - 10:55

Những bài toán tiếp theo của Topic: 

 

$\boxed{13}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc.$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

 

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Áp dụng C-S

$\sum \frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\leq \sum \frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3b}}\leq \sum \frac{1}{4\sqrt2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{\sqrt2}(\sum \frac{1}{a})=\frac{3}{\sqrt2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$



#20 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 31-01-2021 - 11:03

 

 

$\boxed{14}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c}{4a}$

 

Sử dụng bất đẳng thức phụ

$\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}$ Chứng minh bằng cách biến đổi tương đương

$P=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{xy}{4}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{xy+1}{4}-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Với $(x,y)=(\frac{b}{a},\frac{c}{b})$

Xảy ra khi $a=b=c$







4 người đang xem chủ đề

1 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh