Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenhuybao06]

Mời mọi người giải trí với bài tổng quát này nhé. 

Xét các số thực dương $x_1,x_2,x_3\ldots, x_n$ thỏa mãn $x_1x_2x_3\dots x_n=1$. Chứng minh rằng $$ \frac{n}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots+ x_n^2}\leq\sum_{cyc}\frac{1}{x_1^2+x_2+x_3+\dots+x_n}\leq \frac{n}{x_1+x_2+x_3+\dots+ x_n} $$

[nhungvienkimcuong]

Mời mọi người giải trí với bài tổng quát này nhé. 

Xét các số thực dương $x_1,x_2,x_3\ldots, x_n$ thỏa mãn $x_1x_2x_3\dots x_n=1$. Chứng minh rằng $$ \frac{n}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots+ x_n^2}\leq\sum_{cyc}\frac{1}{x_1^2+x_2+x_3+\dots+x_n}\leq \frac{n}{x_1+x_2+x_3+\dots+ x_n} $$

Vế trái dễ hơn chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Cô-si Sơ-vác dạng mẫu, kết hợp với $\sum_{i=1}^nx_i^2\ge \sum_{i=1}^nx_i$.

Giờ đây tập trung vào vế phải, để cho dễ trình bày thì mình sẽ chứng minh với $n=3$ (các trường hợp khác tương tự). Ta có

\[\begin{align*} \sum\frac{1}{x_1^2+x_2+x_3}&=\sum\frac{1+x_2+x_3}{(x_1^2+x_2+x_3)(1+x_2+x_3)}\\&\le \sum\frac{1+x_2+x_3}{(x_1+x_2+x_3)^2}\\&=\frac{3+2(x_1+x_2+x_3)}{(x_1+x_2+x_3)^2}\\&\le \frac{x_1+x_2+x_3+2(x_1+x_2+x_3)}{(x_1+x_2+x_3)^2}\\&=\frac{3}{x_1+x_2+x_3}.\end{align*}\]

[nguyenhuybao06]

Vế trái dễ hơn chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Cô-si Sơ-vác dạng mẫu, kết hợp với $\sum_{i=1}^nx_i^2\ge \sum_{i=1}^nx_i$.

Giờ đây tập trung vào vế phải, để cho dễ trình bày thì mình sẽ chứng minh với $n=3$ (các trường hợp khác tương tự). Ta có

\[\begin{align*} \sum\frac{1}{x_1^2+x_2+x_3}&=\sum\frac{1+x_2+x_3}{(x_1^2+x_2+x_3)(1+x_2+x_3)}\\&\le \sum\frac{1+x_2+x_3}{(x_1+x_2+x_3)^2}\\&=\frac{3+2(x_1+x_2+x_3)}{(x_1+x_2+x_3)^2}\\&\le \frac{x_1+x_2+x_3+2(x_1+x_2+x_3)}{(x_1+x_2+x_3)^2}\\&=\frac{3}{x_1+x_2+x_3}.\end{align*}\]

Lời giải này hay ạ, nhưng vẫn còn lời giải khác cho VP, mời mọi người góp ạ.