Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI HÌNH HỌC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2020-2021

hình hoc

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 144 trả lời

#1 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 02-02-2021 - 21:14

Chào tất cả mọi người, mình là Spirit1234 .Như mọi người đã biết; không còn bao lâu nữa; các em học sinh lớp 9 sẽ bước vào kì thi THPT chuyên đầy cam go. Và trước nhu cầu bức thiết về việc ôn thi; thảo luận bài học; bọn mình quyết định lập các topic hỗ trợ ôn thi cho các em. Topic bất đẳng thức đã lập rồi. Và sau khi thảo luận với Syndycate, mình quyết định lập topic về hình học này.

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

++ Không spam, làm loãng TOPIC.
++ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải.

++ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài.
++ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác.

++ Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Hạn chế sử dụng các công cụ của bậc THPT như hàng điểm, vecto,...).
++ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, thay vào đó đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

++ Sau khi lời giải của một bài toán nào đó được đưa ra thì bất kì lời giải nào giống với lời giải trước đều sẽ bị xóa, tránh làm loãng TOPIC.

++ Các bài giài đều phải trích dẫn đề bài để mọi người dễ đọc dễ hiểu.

++ Yêu cầu các bạn nên có thêm hình vẽ cho mỗi bài làm.

++ Bài làm các bạn nên gõ bằng phông chữ Times New Roman với cỡ chữ 18. 

 

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé. 

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Bọn mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình từ các bạn.  :like  :like  :like 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 03-02-2021 - 20:13


#2 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 02-02-2021 - 21:15

Và sau đây là các bài tập đầu tiên:

 

 $\boxed{1}$: Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. $A\in (O); AB>AC$. Tiếp tuyến tại A của $(O)$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$, $AE\cap BC=M$, kẻ đường cao $AH$ của $\Delta ABE$, $AH\cap BC=F$.

    a) Chứng minh: $AFEC$ là hình thoi.

    b) Chứng minh: $DC.DB=DM.DO$.

    c) Gọi $I$ là trung điểm $AH$, kéo dài $BI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $K$. Đường thẳng $AK$ cắt $BD$ tại $N$. Chứng minh: $N$ là trung điểm của $MD$.

 

 $\boxed{2}$: Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $BE\cap CF=H$, $AH\cap (O)=P$ khác $A$, $PE\cap (O)=R$ khác $P$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta FHB$ cắt $AH$ tại $D$.

    a) Chứng minh: $KD\bot AH$.

    b) $AH\cap BC=L$; $Q$ đối xứng với $P$ qua $D$. Chứng minh: $AEQF$ là tứ giác nội tiếp.

    c) Chứng minh: $BR$ chia đôi $EF$.

 

 $\boxed{3}$: (Định lý Brocard) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M= AB\cap CD; N= AD\cap BC; P= AC\cap BD$. Chứng minh: $P$ là trực tâm $\Delta OMN$.

 

P/s: cảm ơn bạn Tần Thủy Hoàng nhé; đã sửa bài 1; xin lỗi mọi người vì sự bất tiện này.

  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 10-02-2021 - 23:10


#3 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 02-02-2021 - 21:48

$\boxed{3}$: (Định lý Brocard) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M= AB\cap CD; N= AD\cap BC; P= AC\cap BD$. Chứng minh: $P$ là trực tâm $\Delta OMN$. 

Gọi ${E}=(ABP)\cap (CDP)$
Giả sử MP $\cap$ (APB) = E' $\Rightarrow MP.ME'=MB.MA=MC.MD\Rightarrow DE'PC$ nội tiếp hay $E'\equiv E$
$\Rightarrow M,P,E$ thẳng hàng
Dễ cm dc $\widehat{AED}=\widehat{AOD}$$\Rightarrow AEOD$ nội tiếp
$\widehat{BEC}=\widehat{BOC}$$\Rightarrow$ BEOC nội tiếp và N, E, O thẳng hàng
$\widehat{OEM}=\widehat{OEC}+\widehat{MEC}=\widehat{OBC}+\widehat{BDC}=90^{\circ}\Rightarrow$ ME vuông góc với ON
Tương tự NP vuông góc với OM hay P là trực tâm của $\Delta OMN$

geogebra-export.png

 @Spirit1234: Lần này mình thêm hình hộ bạn; lần sau bạn chú ý thêm hình và chỉnh phông chữ sang Times New Roman cỡ chữ 18 giùm mình nhé. Cảm ơn bạn  :like .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 02-02-2021 - 22:19

:nav:  :nav:


#4 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$a\perp b$

Đã gửi 02-02-2021 - 22:37

 $\boxed{1}$: Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$. $A\in (O); AB>AC$. Tiếp tuyến tại A của $(O)$ cắt $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$, $AE\cap BC=M$, kẻ đường cao $AH$ của $\Delta ABE$, $AH\cap BC=F$.

    a) Chứng minh: $AFEC$ là hình thoi.

    b) Chứng minh: $DC.DB=DM.DO$.

    c) Gọi $I$ là trung điểm $AH$, kéo dài $BI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $K$. Đường thẳng $AK$ cắt $BD$ tại $N$. Chứng minh: $N$ là trung điểm của $MD$.

Chắc anh đánh nhầm từ tam giác ABE thành tam giác ABC.

a) Theo tính chất đối xứng ta có $E\in(O)$.

Do AF // CE (cùng vuông góc với BE) nên $\widehat{AFC}=\widehat{ECF}=\widehat{ACF}\Rightarrow \Delta AFC\text{cân tại A}\Rightarrow AC = AF$.

Từ đó theo tính chất đối xứng ta có tứ giác $AFEC$ là hình thoi.

b) Xét $\Delta DAC$ và $\Delta DBA$ có:  $\widehat{D}$ - góc chung; $\widehat{DAB}=\widehat{DCA}$ nên $\Delta DAC\sim\Delta DBA(g.g)$.

Suy ra $DC.DB=DA^2$.

Mặt khác xét tam giác DAO vuông tại A có $AM\perp OD$ nên $DM . DO=DA^2$.

Vậy $DM . DO = DC . DB$.

c) Ta có $\widehat{ABH}=2\widehat{ABC}=\widehat{AOC}=\widehat{MAD}\Rightarrow \Delta ABH\sim\Delta DAM(g.g)$

$\Rightarrow \frac{BH}{HA}=\frac{AM}{MD}$. (1)

Mặt khác ta có $\widehat{HBI}=\widehat{MAN}$ (cùng chắn cung EK) nên $\Delta HBI\sim\Delta MAN\Rightarrow \frac{HB}{HI}=\frac{MA}{MN}$. (2)

Từ (1), (2) kết hợp với giả thiết $HI=\frac{HA}{2}\Rightarrow MN=\frac{MD}{2}\Rightarrow \text{đpcm}$.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 02-02-2021 - 22:38


#5 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 03-02-2021 - 13:24

Em xin góp bài này cho topic
 $\boxed{4}$. Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ trực tâm $H$, $M$ trung điểm $BC$, đường cao $AF$, đường tròn đường kính $AH$ cắt $(O)$ tại $Q$ khác $A$. Đường tròn đường kính $HQ$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $Q$. Dựng đường kính $AE$ của $(O)$, $D$ là giao điểm của $AH$ với $(O)$.
   a) Chứng minh $Q,H,M,E$ thẳng hàng
   b) Tiếp tuyến tại $H, K$ của đường tròn ngoại tiếp $\Delta QKH$ cắt nhau tại $X$. Chứng minh $X\in BC$.
   

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 22:59

:nav:  :nav:


#6 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 03-02-2021 - 19:47

Các bài toán tiếp theo của topic:

  

 $\boxed{5}$: Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ và điểm $E$ bất kì nằm trên đường tròn ($E$ khác $A,B$). Đường phân giác $\angle AEB$ cắt đoạn $AB$ tại $F$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $K$.

   a) Gọi $I$ là giao điểm của $OE$ với trung trực của $EF$. Chứng minh: đường tròn $(I;IE)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $E$ và tiếp xúc với $AB$ tại $F$.

   b) Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $AE,BE$ với $(I)$. $P=NF\cap AK; Q=MF\cap BK$. Tìm GTNN của chu vi $\Delta KPQ$ theo $R$ khi $E$ chuyển động trên $(O)$.

 

 $\boxed{6}$: Cho đường tròn tâm $(O)$. Từ điểm $A$ cố định ngoài $(O)$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ tới $(O)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Lấy điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $MB\cap DF=P; MC\cap DE=Q$. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của 2 đường tròn ngoại tiếp $\Delta MPF$ và $\Delta MQE$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

 

 $\boxed{7}$: Cho $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $AB$ ở $E$; với $AC$ ở $F$. Điểm $H$ chạy trên cung nhỏ $EF$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $H$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Xác định vị trí của $H$ để diện tích $\Delta AMN$ đạt GTLN.

 

 $\boxed{8}$: Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB=2R$. Gọi $d_1; d_2$ lần lượt là 2 tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A,B$. Gọi $I$ là trung điểm của $OA$ và $E\in (O)$ ($E$ khác $A,B$). Đường thẳng $d$ đi qua $E$ và vuông góc với $EI$ cắt $d_1, d_2$ lần lượt tại $M,N$.

   a) Chứng minh: $AM.BN=AI.BI$.

   b) Gọi $F$ là điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $E$ của $(O)$. Tính diện tích $\Delta MIN$ theo $R$ khi $\overline{E,I,F}$.

 

 $\boxed{9}$: Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Bán kính $CO\bot AB$. $M$ chạy trên cung nhỏ $AC$ ($M\not= A,C$). $BM\cap AC=H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

   a) Chứng minh: $\angle ACM=\angle ACK$.

   b) Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là 1 điểm nằm trên $d$ sao cho 2 điểm $P,C$ nằm trong cùng 1 nửa mặt phẳng bờ $AB$ và $\frac{AP.MB}{MA}=R$. Chứng minh đường thẳng $PB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HK$.

 

*P/s: Bạn nào có bài toán nào hay hay không hay; khó hay không khó; có lời giải hay chưa có lời giải thì cứ post lên đây cho mọi người cùng luyện tập nhé.  :D  :like  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 22:59


#7 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$a\perp b$

Đã gửi 03-02-2021 - 20:08

$\boxed{10}$: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (C nằm giữa M, D). I là giao điểm của CD và AB. Gọi N là trung điểm của IM, T là trung điểm của CD. Chứng minh các hệ thức:

a) $\frac{IC}{ID}=\frac{MC}{MD}$.

b) $NI^2=NM^2=NC.ND$. (Hệ thức Newton)

c) $IM . MT=MC.MD$ và $IM.IT=IC.ID$. (Hệ thức Maclaurin)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 08-02-2021 - 21:28


#8 quocthai0974767675

quocthai0974767675

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 184 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1k24-THPT chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:sunny day

Đã gửi 03-02-2021 - 20:36

$\boxed{11}$: Cho tam giác $ABC$ cân tại A có góc $A$ nhọn ,đường cao $CD$. Gọi E là trung điểm của BD, $M$ là trung điểm của CE. Tia phân giác góc $BDC$ cắt $CE$ tại $P$. Đường tròn tâm $(C)$ bán kính CD cắt AC tại $Q$ .Gọi K là giao điểm của $PQ$ với $AM$.

                  a) Gọi F là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BC$. CMR: $P,Q,F$ thẳng hàng

                  b) CMR: tam giác $CKD$ vuông


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 22-02-2021 - 09:57

             We are constantly working on bigger and better projects


#9 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 03-02-2021 - 21:09

File gửi kèm  bài 7.pdf   14.84K   14 Số lần tải

 

 

 $\boxed{7}$: Cho $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$. Gọi $O$ là trung điểm $BC$. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $AB$ ở $E$; với $AC$ ở $F$. Điểm $H$ chạy trên cung nhỏ $EF$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $H$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Xác định vị trí của $H$ để diện tích $\Delta AMN$ đạt GTLN.

 

 

Vì $\Delta ABC$ không đổi nên $S_{AMN}min\Rightarrow S_{BMNC} max$
Ta có $S_{BMNC}=S_{BOM}+S_{MON}+S_{CON}=\frac{1}{2}R(BM+MN+CN)=\frac{1}{2}R(BM+BM-BE+CN+CN-NF)=\frac{1}{2}R(2BM+2CN-BE-CF)$
Dễ cm dc $\Delta BOE= \Delta COF(ch-cgv)\Rightarrow BE=CF$
Do đó $S_{BMNC}=R(BM+CN-CF)\geq 2R\sqrt{BM.CN}-R.CF=R(BC-CF)$ không đổi
Vậy max $S_{AMN}=S_{ABC}-R(BC-CF)$
'='$\Leftrightarrow {H}=(O)\cap$ trung trực BC

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daiphong0703: 03-02-2021 - 21:11

:nav:  :nav:


#10 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$a\perp b$

Đã gửi 03-02-2021 - 23:07

 $\boxed{6}$: Cho đường tròn tâm $(O)$. Từ điểm $A$ cố định ngoài $(O)$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ tới $(O)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Lấy điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $BC,CA,AB$. Gọi $MB\cap DF=P; MC\cap DE=Q$. Chứng minh đường thẳng nối giao điểm của 2 đường tròn ngoại tiếp $\Delta MPF$ và $\Delta MQE$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Dễ thấy các tứ giác MDCE, MDBF nội tiếp.

Do đó ta có: $\widehat{PMQ}+\widehat{PDQ}=\widehat{BMC}+\widehat{PDM}+\widehat{QDM}=\widehat{BMC}+\widehat{MBF}+\widehat{MCE}=180^o\Rightarrow (P,D,Q,M)$.

Từ đó $\widehat{MPQ}=\widehat{MDQ}=\widehat{MCE}=\widehat{MBC}\Rightarrow$ $PQ$//$BC$.

Gọi H là giao điểm thứ hai của (MPF) và (MQE). G là giao điểm của MH với PQ.

Do $\widehat{MPQ}=\widehat{MBC}=\widehat{MFD}$ nên PQ là tiếp tuyến của (MPF).

Tương tự, PQ là tiếp tuyến chung của (MPF) và (MQE).

Khi đó dễ dàng chứng minh được $GP^2=GM.GH=GQ^2$ nên $GP=GQ$.

Theo bổ đề hình thang ta có MH đi qua trung điểm T của đoạn thẳng BC.

Mà T cố định nên ta có đpcm.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png


#11 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 03-02-2021 - 23:34

File gửi kèm  geogebra-export.pdf   14.67K   10 Số lần tải

 

 

 $\boxed{9}$: Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$. Bán kính $CO\bot AB$. $M$ chạy trên cung nhỏ $AC$ ($M\not= A,C$). $BM\cap AC=H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

   a) Chứng minh: $\angle ACM=\angle ACK$.

   b) Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là 1 điểm nằm trên $d$ sao cho 2 điểm $P,C$ nằm trong cùng 1 nửa mặt phẳng bờ $AB$ và $\frac{AP.MB}{MA}=R$. Chứng minh đường thẳng $PB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HK$.

 

 

a) $AMCB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{MBA}$
$HKBC$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{ACK}$
Do đó $\widehat{ACM}=\widehat{ACK}$
b)Gọi {N}=$AP\cap MB$$\Rightarrow \Delta MAB\sim \Delta ANB(g-g)$$\Rightarrow AN=\frac{MA.2R}{MB}$$\Rightarrow 2PA=PN$
{E}=$BP\cap HK$$\Rightarrow \frac{KE}{HK}=\frac{AP}{AN}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow$ $BP$ đi qua trung điểm $HK$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 19:41

:nav:  :nav:


#12 hienprogamin

hienprogamin

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức và Hình Học

Đã gửi 04-02-2021 - 00:12

$\large \boxed{12}$: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E. Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC. Biết rằng giao điểm của DG, EF nằm trên AH. Chứng minh rằng AH, CD và BE đồng quy

P/s: Đây là kết quả trong quá trình học mik tìm được  :D  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 19:34

" Nếu cậu là một phương trình phức tạp
Tớ xin nguyện làm công cụ đạo hàm
Theo dõi cậu dù cách xa vô cực
Tiến lại gần như lim tiến về 0”


#13 Chinh Minh

Chinh Minh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 04-02-2021 - 00:18

Các bài toán tiếp theo của topic:

  

 $\boxed{5}$: Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính $AB$ và điểm $E$ bất kì nằm trên đường tròn ($E$ khác $A,B$). Đường phân giác $\angle AEB$ cắt đoạn $AB$ tại $F$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $K$.

   a) Gọi $I$ là giao điểm của $OE$ với trung trực của $EF$. Chứng minh: đường tròn $(I;IE)$ tiếp xúc với $(O)$ tại $E$ và tiếp xúc với $AB$ tại $F$.

   b) Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm thứ 2 của $AE,BE$ với $(I)$. $P=NF\cap AK; Q=MF\cap BK$. Tìm GTNN của chu vi $\Delta KPQ$ theo $R$ khi $E$ chuyển động trên $(O)$.

 

Screenshot (268).png

a)

$\widehat{FIO}+\widehat{FOI}=2(\widehat{FEO}+\widehat{FBE})=2(\widehat{FEO}+\widehat{OEB})=2.45=90$

$\Rightarrow \widehat{IFO}=90$

nên tiếp xúc với AB tại F

mà I thuộc OE nên tiếp xúc với (O) tại E

b)

$\widehat{PAF}=\widehat{KEB}=45$

$\widehat{PFA}=\widehat{NFB}=\widehat{FEB}=45$

Nên tam giác APF vuông cân tại P

tượng tự tam giác FQB vuông cân tại Q

dễ cm PFQK là hình vuông

Chu vi của PKQ min $PK+QK+QP=PF+PK+FK\geq AK+OK\doteq r(\sqrt2+1)$

xảy ra khi EK vuông với AB


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 04-02-2021 - 01:39


#14 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 04-02-2021 - 09:40

 

 

 $\boxed{2}$: Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$. Một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $BE\cap CF=H$, $AH\cap (O)=P$ khác $A$, $PE\cap (O)=R$ khác $P$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta FHB$ cắt $AH$ tại $D$.

    a) Chứng minh: $KD\bot AH$.

    b) $AH\cap BC=L$; $Q$ đối xứng với $P$ qua $D$. Chứng minh: $AEQF$ là tứ giác nội tiếp.

    c) Chứng minh: $BR$ chia đôi $EF$.

 

 

  

a) Phương tích AF.AB=AH.AD=AE.AC$\Rightarrow BFEC$ nội tiếp
$\widehat{BDC}=360^{\circ}-\widehat{BDH}-\widehat{CDH}=\widehat{BFC}+\widehat{BEC}=2\widehat{BEC}=\widehat{BKC}$$\Rightarrow BDKC$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{KDH}=\widehat{CDH}-\widehat{KDC}=180^{\circ}-\widehat{BEC}-\widehat{KBC}=180^{\circ}-\widehat{BEC}-\frac{180^{\circ}-\widehat{BKC}}{2}=90^{\circ}$
b) Gọi I=$CP\cap (K)$

Dễ cm dc KF=KI
FQPI là hình thang cân nên $\widehat{FQA}=\widehat{FIP}=\widehat{FBL}$ hay BFQL nội tiếp. Tương tự CEQL nội tiếp
$\Rightarrow FQE=360^{\circ}-\widehat{FQL}-\widehat{EQL}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$
$\Rightarrow AFQE$ nội tiếp
c) AFQE nội tiếp sẽ có $\Delta FBE\sim \Delta QDE(g-g)\Rightarrow \frac{FB}{FE}=\frac{QD}{QE}$
Giả sử G trung điểm EF$\Rightarrow \frac{FB}{FG}=\frac{QP}{QE}\Rightarrow \Delta GFB\infty \Delta EQP(c-g-c)$
$\Rightarrow \widehat{FBR}=\widehat{EPQ}=\widehat{ABR}$ hay BG$\equiv$BR
Do đó BR chia đôi EF





hình 1.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 19:42

:nav:  :nav:


#15 Reyes

Reyes

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Đã gửi 04-02-2021 - 11:30

$\boxed{13}$: Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm tâm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn tâm $O$ tại $D$. Trên đoạn $BC$ và trên cung $BDC$ của $(O)$ lấy hai điểm $F$ và $E$ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC}$. Gọi $G$ là trung điểm của $IF$. Chứng minh rằng: $EI$ và $DG$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $(O)$.

P/s: Một bài toán nhẹ nhàng giải trí nhân dịp Tết :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 19:35


#16 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 615 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:$a\perp b$

Đã gửi 04-02-2021 - 12:29

$\large \boxed{12}$: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E. Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC. Biết rằng giao điểm của DG, EF nằm trên AH. Chứng minh rằng AH, CD và BE đồng quy

P/s: Đây là kết quả trong quá trình học mik tìm được  :D  

Bài này dùng một kết quả quen thuộc.

Gọi J là điểm đồng quy của DG, EF, AH.

Theo định lý Thales: $\frac{FH}{GH}=\frac{DJ}{GJ}=\frac{FD}{GE}\Rightarrow \Delta DFH\sim\Delta EGH(c.g.c)\Rightarrow \widehat{DHF}=\widehat{EHG}\Rightarrow \widehat{DHK}=\widehat{EHK}$.

Gọi I là giao điểm của BE với AH. Gọi D' là giao điểm của CI với AB.

Ta sẽ chứng minh $D'\equiv D$ bằng cách chứng minh HI là phân giác của góc D'HE.

Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt HD', AB, HE, AC lần lượt tại L, M, N, O.

Ta có  $\frac{IL}{IM}=\frac{HC}{BC};\frac{IN}{IO}=\frac{HB}{BC};\frac{IM}{IO}=\frac{HB}{HC}\Rightarrow IL=IN$.

Do đó tam giác LHN cân tại H nên HI là phân giác của góc D'HE.

Vậy ta có đpcm.

Hình gửi kèm

  • Screenshot (1).png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 04-02-2021 - 12:30


#17 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 04-02-2021 - 12:38

$\boxed{13}$: Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm tâm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt lại đường tròn tâm $O$ tại $D$. Trên đoạn $BC$ và trên cung $BDC$ của $(O)$ lấy hai điểm $F$ và $E$ sao cho $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}<\frac{1}{2}\widehat{BAC}$. Gọi $G$ là trung điểm của $IF$. Chứng minh rằng: $EI$ và $DG$ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn $(O)$.

P/s: Một bài toán nhẹ nhàng giải trí nhân dịp Tết :)

Gọi {K;H}=$AF\cap DG, (O)$, {J}=$EI\cap (O)$, {L}=AI$\cap BC$
Ta có $\widehat{BAF}=\widehat{CAE}\Rightarrow \widehat{BH}=\widehat{CE}\Rightarrow BH=CE$
$\Rightarrow HE//BC$
Dễ cm dc AJKI nội tiếp$\Rightarrow \widehat{JIK}=\widehat{JAK}=\widehat{JEH}$
$\Rightarrow KI//HE//BC\Rightarrow \frac{KF}{KA}=\frac{IL}{AI}$$=\frac{CL}{CA}$
Mà $\Delta DCL\sim \Delta DAC(g-g)\Rightarrow \frac{CL}{AC}=\frac{DC}{DA}=\frac{DI}{DA}$
Do đó $\frac{KF}{KA}=\frac{DI}{DA}$
Giả sử D,G,J thẳng hàng thì áp dụng Menelaus vào $\Delta AFI\Rightarrow \frac{KF}{KA}.\frac{GF}{GI}.\frac{DI}{DA}=1\Rightarrow GF=GI$ (hiển nhiên đúng)
$\Rightarrow dpcm$



geogebra-export.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 19:42

:nav:  :nav:


#18 daiphong0703

daiphong0703

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 168 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Your heart.
  • Sở thích:ɢєσмєтяу ^^

Đã gửi 04-02-2021 - 16:54

$\boxed{14}$ 
Cho 
$\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. $P$ là 1 điểm nằm trong $\Delta ABC$. Trung trực $CA,CB$ cắt $PA$ tại $E,F$. Đường thẳng qua $F$ song song với $AC$ cắt tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ tại $M$. Đường thẳng qua $F$ song song với $AB$ cắt tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ tại $N$.
a) Chứng minh $MN$ là tiếp tuyến của $(O)$.
b) Giả sử $MN\cap (ACM), (ABN) = S; Q \not = M, N$. Chứng minh $\Delta ABC\sim \Delta ASQ$ và $SB$ cắt $CQ$ tại 1 điểm nằm trên $(O)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 06-02-2021 - 20:25

:nav:  :nav:


#19 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 04-02-2021 - 20:39

Các bài toán tiếp và tiếp  :D :

 

 $\boxed{15}$: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ($AB<AC$). Trên cạnh $AC$ lấy điểm $D\not = A,C$; dựng $DE\bot BC$. Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn tâm $K$ ngoại tiếp $\Delta DEC$ cắt tia $DE$ tại $M$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $MK$ cắt đường tròn $(K)$ tại $F$ ($F$ nằm trong $\Delta ABC$).

   a) Chứng minh: $AC.DC=CE.BC$

   b) Tia $CF\cap AB=I$. Chứng minh: $I$ là trung điểm của $AB$.

 

 $\boxed{16}$: Từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(O)$ ($A,B$ là các tiếp điểm) và cát tuyến $MCD$ sao cho $MC<MD$ và $MC$ nằm giữa $MA$ và $MO$. $H=AB\cap MO$; $E$ là trung điểm $CD$. Đường thằng $CH$ cắt $(O)$ tại $F\not = C$. Đường thẳng $DF$ cắt tia $MA,MB$ lần lượt tại $P,Q$.

   a) Chứng minh: $EM$ là tia phân giác của $\angle AEB$.

   b) Gọi $X=EP\cap AD, Y=EQ\cap BD$. Chứng minh: $HD$ chia đôi $XY$.

 

 $\boxed{17}$: Từ điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $MA,MB$ đến $(O)$ ($A,B$ là các tiếp điểm) và cát tuyến $MCD$ sao cho $MC<MD$ và $MC$ nằm giữa $MB$ và $MO$. Gọi $I$ là trung điểm $CD$.

   a) Gọi $BI\cap (O)=J \not= B$. Chứng minh: $AD^2=JA.MD$.

   b) Đường thẳng qua $I$ song song với $BD$ cắt $AB$ tại $K$. Tia $CK$ cắt $OB$ tại $G$. Khi cát tuyến $MCD$ thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CIG$ thuộc đường tròn nào?

 

 $\boxed{18}$: Cho đường tròn tâm $I$ nội tiếp $\Delta ABC$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $K$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh: $MI\bot DK$.

 

 $\boxed{19}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $P$ là 1 điểm bất kì trong tam giác và $Q$ thuộc cung nhỏ $BC$ của $(O)$. $AP\cap (O)=D\not= A$. $M$ là trung điểm $AQ$, $QP\cap (O)=K\not= Q$. Dựng đường tròn qua 2 điểm $P,K$ tiếp xúc với $AP$. Các đường thẳng $AK, MP$ cắt đường tròn này tại $E,F$. Gọi $R$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta KPD$ với $MP$. Chứng minh: $F$ là trung điểm $PR$ và $A,D,E,F$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 06-02-2021 - 09:21


#20 spirit1234

spirit1234

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 640 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Z}$
  • Sở thích:$\text{Hình học}$

Đã gửi 04-02-2021 - 21:09

 $\boxed{8}$: Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB=2R$. Gọi $d_1; d_2$ lần lượt là 2 tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A,B$. Gọi $I$ là trung điểm của $OA$ và $E\in (O)$ ($E$ khác $A,B$). Đường thẳng $d$ đi qua $E$ và vuông góc với $EI$ cắt $d_1, d_2$ lần lượt tại $M,N$.

   a) Chứng minh: $AM.BN=AI.BI$.

   b) Gọi $F$ là điểm chính giữa cung $AB$ không chứa $E$ của $(O)$. Tính diện tích $\Delta MIN$ theo $R$ khi $\overline{E,I,F}$.

 Qua 1 ngày chưa có ai đưa ra lời giải vậy mình xin phép đưa ra lời giải cho bài này vậy.

 $\boxed{8}$:

   a) Dễ chứng minh: $AMEI; NEIB$ là tứ giác nội tiếp.

 $\Rightarrow \angle EMI=\angle EBI; \angle ENI=\angle EBN\Rightarrow \Delta MIN\sim \Delta AEB\Rightarrow \angle MIN=90^{\circ}$.

 $\Rightarrow \angle MIA=90^{\circ}-\angle NIB=\angle INB\Rightarrow \Delta MAI=\Delta IBN\Rightarrow AM.BN=IA.IB$.

   b) Khi $F$ là điểm chính giữa cung $AB$ thì $EF$ là phân giác của $\angle AEB$.

 $\Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{IA}{IB}=\frac{1}{3}\Rightarrow EA^2+EB^2=AB^2=4R^2\Rightarrow EA^2=\frac{2R^2}{5}\Rightarrow EA=\frac{\sqrt{10}R}{5}; EB=\frac{3\sqrt{10}R}{5}$

 Ta cũng có: $\Delta MIN\sim \Delta AEB\Rightarrow \frac{S_{MIN}}{S_{AEB}}=(\frac{IF}{OF})^2=\frac{OI^2+OF^2}{OF^2}=\frac{5}{4}$.

 $\Rightarrow S_{MIN}=\frac{5}{4}S_{AEB}=\frac{5}{4}.\frac{1}{2}.EA.EB=\frac{3}{4}R^2$.

geogebra-export (2).png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 04-02-2021 - 21:09






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình hoc

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh