Chủ đề này có 144 trả lời

[12DecMath]

$\boxed{82}$ Cho tam giác $ABC$, điểm $D$ thay đổi trong $\widehat{BAC}$ sao cho $AD \perp BC$. Kẻ $DE \perp AC, DF \perp AB$ $(E \in AC, F \in AB)$. Gọi $G = BE \cap CF$. Chứng minh rằng $GH$ đi qua một điểm cố định.

Một cách của bài $\boxed{82}$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 01-03-2021 - 20:04

[spirit1234]

Các bài tập mới của topic vậy:

 

 $\boxed{86}$: Cho $\Delta ABC$, $D\in BC$ sao cho bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ và $\Delta ADC$ bằng nhau. Chứng minh: $AD=\sqrt{p(p-a)}$ (với $p$ là nửa chu vi $\Delta ABC$; $a=BC$).

 

 $\boxed{87}$: Cho $\Delta ABC$; $\angle A< 60^0$. $P\in \Delta ABC$, $H,K$ là hình chiếu của $P$ lên cạnh $AB,AC$ sao cho: $AC+AH=BC+BH$ và $AB+AK=BC+CK$. Chứng minh: $\angle BPC< 120^0$.

 

 $\boxed{88}$: Cho $\Delta ABC$; $\angle A=90^0; AB<AC$. Kẻ $AH\bot BC; H\in BC$. Gọi $I;J$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABH; ACH$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AIJ$; đường tròn này cắt cạnh $AB,AC$ tại $D,E$. Đường thẳng $DE$ cắt cạnh $BC$ kéo dài tại $K$. Chứng minh: $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta OKH$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp $\Delta OKH$.

 

 $\boxed{89}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, đường phân giác $\angle B$ và $\angle C$ cắt $(O)$ tại $D,E$. Dựng đường tròn $(D)$ tiếp xúc cạnh $AC$, đường tròn $(E)$ tiếp xúc cạnh $AB$. Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ nằm trên tiếp tuyến chung của 2 đường tròn $(D)$ và $(E)$.

 

 $\boxed{90}$: Cho đường tròn $(O)$ và tiếp tuyến $d$; $M\in d$. 2 điểm $A,B$ thay đổi trên $d$ sao cho $M$ là trung điểm $AB$. Các tiếp tuyến qua $A,B \not= d$ với đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $C$. Chứng minh: $C$ thuộc 1 đường thẳng cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: 01-03-2021 - 20:39

[12DecMath]

$\boxed{71}$:Cho đường tròn (O). Lấy A cố định, một đường thẳng d thay đổi vuông góc OA và cắt (O) tại B,C. Gọi D là điểm cố định trên đường tròn (O) sao cho AD=$\frac{3}{4}$AB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh E thuộc 1 đường tròn cố định

P/s: Bài này em làm hơi dài và hơi đại số, mong mọi người tìm ra cách ngắn hơn! 

Cách giải của mình cho bài này:

Hình gửi kèm

• 

[Tan Thuy Hoang]

$\boxed{63}$: Cho $\Delta ABC$ nhọn. Các điểm D, E, F nằm ngoài tam giác sao cho tổng diện tích ba tam giác $DBC,ECA,FAB$ nhỏ hơn diện tích tam giác $ABC$. Qua $D, E, F$ lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $BC, CA, AB$, chúng cắt nhau tạo thành tam giác MNP. Chứng minh $S_{MNP}\leq S_{AFBDCEA}$.

Chữa bài này cho TOPIC đỡ bị tồn đọng:

Từ gt dễ dàng chứng minh được AN, BP, CM đồng quy tại O.

Đặt $\frac{OA}{ON}=\frac{OB}{OP}=\frac{OC}{OM}=k$

Ta có $S_{AOCE}=S_{AOC}+S_{AEC}=S_{AOC}+S_{AMC}=S{AOM}\Rightarrow \frac{S_{AOCE}}{S_{OMN}}=\frac{OA}{ON}=k$.

Thiết lập các đẳng thức tương tự ta có $k=\frac{S_{AECO}}{S_{OMN}}=\frac{S_{BFAO}}{S_{ONP}}=\frac{S_{CDBO}}{S_{OPM}}=\frac{S_{AECO}+S_{BFAO}+S_{CDBO}}{S_{OMN}+S_{ONP}+S{OPM}}=\frac{S_{AFBDCE}}{S_{MNP}}$. (1)

Mặt khác ta có $\frac{AN}{OA}=\frac{S_{AEC}}{S_{AOC}}=\frac{S_{BFA}}{S_{BOA}}=\frac{S_{CDB}}{S_{COB}}=\frac{S_{AEC}+S_{BFA}+S_{CDB}}{S_{AOC}+S_{BOA}+S_{COB}}<1\Rightarrow \frac{ON}{OA}<2\Rightarrow k>\frac{1}{2}$ (2).

Từ (1), (2) ta có đpcm.

Hình gửi kèm

• 

[spirit1234]

 $\boxed{69}$: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc với $CA,AB$ lần lượt tại $E,F$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $S$. $SE,SF\cap (O)=M,N\not= S$. $(AEM)\cap (AFN)=P\not= A$. Gọi $EN,FM\cap (K)=G,H \not= E,F$; $GH\cap MN=T$. Chứng minh: $\Delta AST$ cân.

*Cách 2:

 Ta chứng minh được: $MNGH$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow TM.TN=TG.TH$.

 Giả sử: $TS\cap (O)=S_1; (K)=S_2$ $\Rightarrow TM.TN=TG.TH=TS.TS_1=TS.TS_2\Rightarrow S\equiv S_1\equiv S_2$

 $\Rightarrow TS$ là tiếp tuyến chung của $(K)$ và $(O)$.

 Ta chứng minh được: $APMN$ là hình bình hành.

 Ta có: $TS$ là tiếp tuyến của $(O)$ $\Rightarrow \Delta TNS\sim \Delta TSM\Rightarrow \frac{TM}{TN}=\frac{S_{TSM}}{S_{TNS}}=(\frac{SM}{SN})^2.$

 Ta có: +) $\angle AMI=\angle AMN=\angle ASN$.

      +) $\angle MAI=\angle PES=\angle NST=\angle NAS$.

 $\Rightarrow \Delta AIM\sim \Delta ANS\Rightarrow AM.SN=AI.AS$.

 Tương tự ta có: $\Delta AIN\sim \Delta AMS\Rightarrow AN.SM=AI.AS\Rightarrow AM.SN=AN.SM\Rightarrow (\frac{SM}{SN})^2=(\frac{AM}{AN})^2$

 $\Rightarrow \frac{TM}{TN}=(\frac{AM}{AN})^2.$

 $\Rightarrow TA$ là tiếp tuyến của $(O)$ (đây là 1 tính chất khá thú vị của tiếp tuyến).

 $\Rightarrow TA=TS\Rightarrow dpcm$.

 

*P/s: Hình của mình giống hình của bạn Tan Thuy Hoang nên mình xin phép không đăng lại nữa.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi spirit1234: Hôm qua, 22:10