Chủ đề này có 1 trả lời

[nohara]

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương lẻ sao cho chúng nguyên tố cùng nhau và $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c},\frac{b^2+c^2-a^2}{b+c-a},\frac{c^2+a^2-b^2}{c+a-b}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $|(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)|$ là số chính phương.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-10-2023 - 16:28
Tiêu đề & LaTeX

[Nguyen Bao Khanh]

ĐKXĐ: $a+b-c;b+c-a;c+a-b \neq 0$

Đặt $a+b-c=x;c+a-b=y;b+c-a=z; x;y;z$ lẻ.

Khi đó bằng một số biến đổi thì $\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{2x^2+2xy+2xz-2yz}{2x} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow \frac{yz}{x} \in \mathbb{Z}.$

Hoàn toàn tương tự $\frac{yz}{x};\frac{xz}{y};\frac{xy}{z} \in \mathbb{Z}.$

Từ $(a;b;c)=1$, suy ra nếu $(x;y;z)=d \in \mathbb{N^*}$ thì $x+y+z \vdots d \implies a+b+c \vdots d \implies 2c \vdots d$. Hoàn toàn tương tự $2b \vdots d;2a\vdots d$. 

Từ đó $2 \vdots d$, chú ý $x;y;z$ lẻ thì $d=1$.

Đặt $p=(x;y) \in \mathbb{N^*} \Longrightarrow x=px';y=py',x';y'\in \mathbb{N^*}$. Khi đó $\frac{zy'}{x'};\frac{x'z}{y'} \in \mathbb{Z}$. 

Suy ra $z \vdots x';z\vdots y' \implies z \vdots x'y'$ (vì $(x',y')=1$) $\implies z=x'y'.q;q\in \mathbb{Z}$. Suy ra $\frac{p^2}{q} \in \mathbb{Z}$. Tuy nhiên $(x;y;z)=1\implies (p;z)=1 \implies (p;q)=1$. Suy ra $|q|=1$.

Suy ra $|(a+b-c)(b+c-a)(-b+a+c)|=|xyz|=|p^2x'y'.qx'y'|=(px'y')^2$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 09-02-2024 - 13:27