Đến nội dung

Hình ảnh

gtnn $x+y+z$


Lời giải nhungvienkimcuong, 03-11-2023 - 04:05

Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$

Tìm gtnn $x+y+z$

Cách 1.

Khai triển $(x-3)(y-3)(z-3)\ge 0$ ta có

\begin{equation*} xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27\ge 0.\tag{1}\end{equation*}

Khai triển $(x-5)(y-5)(z-5)\le 0$ ta có

\begin{equation*}xyz-5(xy+yz+zx)+25(x+y+z)-125\le 0.\tag{2}\end{equation*}

Lấy $(1)$ trừ $(2)$ ta có được

\begin{equation*}2(xy+yz+zx)-16(x+y+z)+98\ge 0.\tag{3}\end{equation*}

Mặt khác $2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2-50$ nên $(3)$ tương đương

\[(x+y+z)^2-16(x+y+z)+48\ge 0\implies x+y+z\ge 12.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=3,y=4,z=5$ cùng các hoán vị.

 

Cách 2.

Không mất tính tổng quát ta sắp xếp $x\ge y\ge z$. Giả sử

\[x+y+z<12\implies x+y<12-z\le 9.\]

Sử dụng khai triển Abel ta có

\begin{align*}x^2+y^2+z^2=x\cdot x+y\cdot y+z\cdot z&=x(x-y)+(x+y)(y-z)+(x+y+z)z\\&<5(x-y)+9(y-z)+12z\\&=5x+4y+3z\\&=x+4(x+y+z)-z\\&< 5+4\cdot 12-3 =50.\end{align*}
Từ mâu thuẫn này ta có $x+y+z\ge 12$.
Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hngmcute

hngmcute

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$

Tìm gtnn $x+y+z$



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết
✓  Lời giải

Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$

Tìm gtnn $x+y+z$

Cách 1.

Khai triển $(x-3)(y-3)(z-3)\ge 0$ ta có

\begin{equation*} xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27\ge 0.\tag{1}\end{equation*}

Khai triển $(x-5)(y-5)(z-5)\le 0$ ta có

\begin{equation*}xyz-5(xy+yz+zx)+25(x+y+z)-125\le 0.\tag{2}\end{equation*}

Lấy $(1)$ trừ $(2)$ ta có được

\begin{equation*}2(xy+yz+zx)-16(x+y+z)+98\ge 0.\tag{3}\end{equation*}

Mặt khác $2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2-50$ nên $(3)$ tương đương

\[(x+y+z)^2-16(x+y+z)+48\ge 0\implies x+y+z\ge 12.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=3,y=4,z=5$ cùng các hoán vị.

 

Cách 2.

Không mất tính tổng quát ta sắp xếp $x\ge y\ge z$. Giả sử

\[x+y+z<12\implies x+y<12-z\le 9.\]

Sử dụng khai triển Abel ta có

\begin{align*}x^2+y^2+z^2=x\cdot x+y\cdot y+z\cdot z&=x(x-y)+(x+y)(y-z)+(x+y+z)z\\&<5(x-y)+9(y-z)+12z\\&=5x+4y+3z\\&=x+4(x+y+z)-z\\&< 5+4\cdot 12-3 =50.\end{align*}
Từ mâu thuẫn này ta có $x+y+z\ge 12$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-11-2023 - 18:07

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh