Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$
Tìm gtnn $x+y+z$
Lời giải nhungvienkimcuong, 03-11-2023 - 04:05
Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$
Tìm gtnn $x+y+z$
Cách 1.
Khai triển $(x-3)(y-3)(z-3)\ge 0$ ta có
\begin{equation*} xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27\ge 0.\tag{1}\end{equation*}
Khai triển $(x-5)(y-5)(z-5)\le 0$ ta có
\begin{equation*}xyz-5(xy+yz+zx)+25(x+y+z)-125\le 0.\tag{2}\end{equation*}
Lấy $(1)$ trừ $(2)$ ta có được
\begin{equation*}2(xy+yz+zx)-16(x+y+z)+98\ge 0.\tag{3}\end{equation*}
Mặt khác $2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2-50$ nên $(3)$ tương đương
\[(x+y+z)^2-16(x+y+z)+48\ge 0\implies x+y+z\ge 12.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=3,y=4,z=5$ cùng các hoán vị.
Cách 2.
Không mất tính tổng quát ta sắp xếp $x\ge y\ge z$. Giả sử
\[x+y+z<12\implies x+y<12-z\le 9.\]
Sử dụng khai triển Abel ta có
Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$
Tìm gtnn $x+y+z$
Cho $x,y,z$ thực thỏa mãn $3\leq x,y,z\leq 5$ và $x^2+y^2+z^2=50$
Tìm gtnn $x+y+z$
Cách 1.
Khai triển $(x-3)(y-3)(z-3)\ge 0$ ta có
\begin{equation*} xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27\ge 0.\tag{1}\end{equation*}
Khai triển $(x-5)(y-5)(z-5)\le 0$ ta có
\begin{equation*}xyz-5(xy+yz+zx)+25(x+y+z)-125\le 0.\tag{2}\end{equation*}
Lấy $(1)$ trừ $(2)$ ta có được
\begin{equation*}2(xy+yz+zx)-16(x+y+z)+98\ge 0.\tag{3}\end{equation*}
Mặt khác $2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2-50$ nên $(3)$ tương đương
\[(x+y+z)^2-16(x+y+z)+48\ge 0\implies x+y+z\ge 12.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=3,y=4,z=5$ cùng các hoán vị.
Cách 2.
Không mất tính tổng quát ta sắp xếp $x\ge y\ge z$. Giả sử
\[x+y+z<12\implies x+y<12-z\le 9.\]
Sử dụng khai triển Abel ta có
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-11-2023 - 18:07
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh