Chủ đề này có 101 trả lời

[Mr handsome ugly]

Chào tất cả mọi người ; mình là Mr handsome ugly. Hiện tại trên diễn đàn ta đã có 2 topic ôn thi thpt chuyên vào cấp 3 về BĐT cũng như hình học. Sau khi thảo luận với bạn Syndycate và bạn spirit1234 thì mình quyết định lập topic ôn thi số học vào chuyên cấp 3 cho các bạn lớp 9 ; mong mọi người ủng hộ và giúp đỡ; thông cảm cho những thiếu xót của mình cũng như tích cục đóng góp cho topic thêm "đông vui hơn".

Sau đây là các quy định của topic:

• không spam ;làm loãng topic .
• Sau khi đề xuất một bài toán mà sau 1 ngày không topic không có lời giải thì người đề xuất bài toán cần phải đăng lời giải .
• Khi giải toán cố gắng trình bày đầy đủ; khoa học ; tránh việc chỉ nêu hướng giải, dẫn link lời giải 
• Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài thay vào đó hãy đăng thêm lời giải thứ 2 cho bài toán hoặc đề xuất một bài toán mới.
• Tránh sử dụng kiến thức cấp 3 ( như bổ đề LTE ; số nguyên phức ;...)
• Bất kì lời giải nào trùng với lời giải trước sẽ bị xóa 
• ​Các bài toán đều cần được đánh số thứ tự theo mẫu như sau: Bài n với n là số thứ tự của bài ; để cụ thể hơn các bạn xem cách mình trình bày ở các bài đầu sẽ rõ!
• Mình  khuyến khích các bạn có thể chèn vào ở cuối bài giải một vài mẹo vặt làm các bài toán hay các dạng toán cụ thể !

​P/S: Mong các bạn chấp hành nội quy " nghiêm chỉnh" để có thể thoải mải giải bài cũng như ôn thi trên topic  .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 07-02-2021 - 09:58

[Chinh Minh]

Góp cho topic

$\boxed{\text{Bài 1}}$(Đã chữa) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q, r và số nguyên dương n thõa mãn

$p^n+q^{2n}=r^2$

P/s: Thấy hay và cần một lời giải khác nên post lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 08-02-2021 - 00:40

[Mr handsome ugly]

Sau đây là những bài tập đầu tiên khởi động topic:

 

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $9x+2=y^{2}+y$

 

Bài 3: Tìm x;y nguyên dương sao cho $6x^{2}+5y^{2}=74$

 

Bài 4: Cho x;y nguyên dương và x>y 

          a) Chứng minh rằng nếu $x+y\mid x^{3}-y^{3}$ thì x+y không thể là số nguyên tố 

          b) Tìm k nguyên dương sao cho $9\mid x^{k}-y^{k}$ với mọi x;y sao cho xy không chia hết cho 3

 

Bài 5: Cho k và m nguyên dương trong đó m không là số chính phương. Chứng minh rằng với mỗi số m chỉ tồn tại hữu hạn số k sao cho $k!+m$ là số chính phương 

 

Bài 6: Tìm a;b nguyên dương sao cho $a^{b}+1$ là số chính phương 

 

Bài 7: Tìm a;b nguyên dương sao cho $a^{2}+4b$ và $b^{2}+4a$ đều là số chính phương 

 

Bài 8: Tìm x  nguyên dương sao cho  $2009^{x}+2010^{x}=2011^{x}$

NOTE: Bài 8 cũng có thể giải cho trường hợp tổng quát $2009^{x}+2010^{y}=2011^{z}$ với x;y;z nguyên dương

 

Bài 9: Tìm a;b;c nguyên dương sao cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}=2012$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 05-02-2021 - 22:47

[Chinh Minh]

Sau đây là những bài tập đầu tiên khởi động topic:

 

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên $9x+2=y^{2}+y$

 

$9x+2=y^2+y\Rightarrow x=\frac{(y-1)(y+2)}{9}$ nhận thấy $y-1$ và $y+2$ cùng số dư khi chia cho 3

TH1: $y=3k$ không thõa mãn

TH2 $y=3k+2$ không thõa mãn

TH3 $y=3k+1$ thì $x=k(k+1)$ với $k\epsilon \mathbb{Z}$

[Chinh Minh]

Sau đây là những bài tập đầu tiên khởi động topic:

Bài 3: Tìm x;y nguyên dương sao cho $6x^{2}+5y^{2}=74$

 

$6x^2+5y^2=74\Rightarrow 6x^2<74\Rightarrow x\leq 3$

Thử lại có $x=3$ $y=2$ thõa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 05-02-2021 - 21:46

[Chinh Minh]

 

Bài 8: Tìm x  nguyên dương sao cho  $2009^{x}+2010^{x}=2011^{x}$

NOTE: Bài 8 cũng có thể giải cho trường hợp tổng quát $2009^{x}+2010^{y}=2011^{z}$ với x;y;z nguyên dương

TH1: x lẻ

suy ra vế trái đồng dư với -1 khi chia cho 3

vế phải đồng dư với 1 khi chia cho 3 suy ra vô lí

TH2 : x chẵn

Đưa về phương trình pitago và sử dụng bộ số pitago nguyên thủy

2009 không chia hết cho 3 và 4

Bổ sung 

Bài 10 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình

$3^x+4^y=5^z$

@ChinhMinh: tks THHoang

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 06-02-2021 - 18:16

[daiphong0703]

Bài 11
Góp cho topic bài này
Tìm x,y $\in N$ : $7^{x}-3.2^{y}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daiphong0703: 06-02-2021 - 02:10

[daiphong0703]

 

 

Bài 4: Cho x;y nguyên dương và x>y 

          a) Chứng minh rằng nếu $x+y\mid x^{3}-y^{3}$ thì x+y không thể là số nguyên tố 

          b) Tìm k nguyên dương sao cho $9\mid x^{k}-y^{k}$ với mọi x;y sao cho xy không chia hết cho 3

 

 

a) Ta có $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=(x+y)^{2}(x-y)-xy(x-y)\vdots x+y \Rightarrow xy(x-y)\vdots x+y$
Mà x+y là số nguyên tố $\Rightarrow x\vdots x+y$, $y\vdots x+y$, x-y$\vdots x+y$ (vô lí vì y<x+y, x-y<x<x+y)
b) xy không chia hết cho 3$\Rightarrow$ x và y không chia hết cho 3
Từ đó dễ cm dc (x$^{6}-1$) $\vdots 9, (y^{6}-1)\vdots 9$
Với k= 6t+r (0<r<6, r$\in N$), t$\in N$
$\Rightarrow x^{k}-y^{k}=x^{6t+r}-y^{6t+r}=x^{r}(x^{6t}-1)-y^{r}(y^{6t}-1)+x^{r}-y^{r} \vdots 9 \Rightarrow x^{r}-y^{r}\vdots 9\Rightarrow r=0$
Vậy k có dạng k=6t (t$\in N$)

[JohnTerry]

Mặc dù kiến thức về số học còn hạn hẹp nhưng em cũng xin góp vài bài cho TOPIC phát triển

 

$\boxed{\text{Câu 12}}$ Cho a,b là các số nguyên dương và $a> b$ thỏa mãn 

$(a-b,ab+1)=1 , (a+b,ab-1)=1$ 

a/ Chứng minh rằng $(a^2+1, b^2+1)=1$

 

b/ Chứng minh rằng $(a-b)^2+(ab+1)^2$ không thể là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 06-02-2021 - 12:12

[Tan Thuy Hoang]

Chia cả 2 vế cho $2011^x$

ta có $(\frac{2009}{2011})^x+(\frac{2010}{2011})^x=1$

Sử dụng phương pháp chỉ ra nghiệm ta được $x=1$

Bài tổng quát thì mk chưa làm được

Bổ sung 

$\boxed{\text{Bài 10}}$ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình

$3^x+4^y=5^z$

Anh ơi x = 1 thì 2009 + 2010 đâu bằng 2011 ạ?

Bài 10:

Ta có $3^x+4^y\equiv 1(mod 3)\Rightarrow 5^z\equiv 1(mod 3)\Rightarrow z=2k(k\in\mathbb{N})$.

Từ đó ta tách $3^x=(5^k-2^y)(5^k+2^y)$.

Do 3 là số nguyên tố nên $5^k-2^y=3^m;5^k+2^y=3^n(m,n\in\mathbb{N};m+n=x;m<n)$.

Rõ ràng m = 0.

Do đó $5^k-2^y=1;5^k+2^y=3^n$.

Dễ thấy $y\geq 2$.

Ta thấy $2.5^k=3^n+1\equiv 1(mod3)$ nên k lẻ.

Suy ra $5^k\equiv 5(mod8)$ nên $2^y$ không chia hết cho 8.

Vậy y = 2. Tìm được $k=1$ nên $z=2;x=2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 06-02-2021 - 10:35

[DepressedGenius]

Em lại vào muộn 

Bài 9: Tìm a;b;c nguyên dương sao cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}=2012$

                         Dễ thấy $a,b,c\leqslant 6$

+) TH1 : 3 số chia hết cho 5 => LOẠI

+) TH2 : 2 số chia hết cho 5 => số còn lại nguyên tố cùng nhau với 5 ,theo Fermat nhỏ thì $\equiv 1(mod5)$ mà $2012\equiv 2(mod5)$ => LOẠI

+) TH3 : 1 số chia hết cho 5 => số đó là 5 => 2 số còn lại theo Fermat nhỏ $\equiv 2(mod5)$ => THỎA MÃN

                 Giả sử a=5, (b,5)=1, (c,5)=1 , ta được :  $5^{4}+b^{4}+c^{4}=2012$

       => $b^4+c^{4}$ tận cùng bằng 7 => Có các cặp $(1,6),(2,5),(3,4),(9,8),(7,0)$ và hv=> Chỉ lấy (1,6) vì SCP không tận cùng 2,3,7,8

             Ta có nghiệm (a,b,c)=(5,1,6) và hv .Thử lại thấy không thỏa mãn 

                       Vậy pt vô nghiệm

 

P/s : Em thấy bài này sao sao ý, chớ cứ thử từng TH cũng ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DepressedGenius: 06-02-2021 - 10:43

[Tan Thuy Hoang]

Mặc dù kiến thức về số học còn hạn hẹp nhưng em cũng xin góp vài bài cho TOPIC phát triển

Câu 12    Cho a,b là các số nguyên dương và $a> b$ thỏa mãn

$(a-b,ab+1)=1 , (a+b,ab-1)=1$ 

a/ Chứng minh rằng $(a^2+1, b^2+1)=1$

b/ Chứng minh rằng $(a-b)^2+(ab+1)^2$ không thể là số chính phương

a) Dễ thấy a, b không cùng lẻ.

Giả sử $a^2+1$ và $b^2+1$ cùng chia hết cho số nguyên tố p.

Do đó $(a-b)(a+b)\vdots p$.

+) Nếu $a-b\vdots p$ thì ta có $a^2+b^2+2\vdots p\Rightarrow 2ab+2\vdots p\Rightarrow ab+1\vdots p$ (Vô lí).

+) Nếu $a+b\vdots p$ thì tương tựta cũng có điều vô lí.

Vậy $(a^2+1,b^2+1)=1$.

b) Ta có $(a-b)^2+(ab+1)^2=(a^2+1)(b^2+1)$ là số chính phương khi và chỉ khi $a^2+1,b^2+1$ là các số chính phương (Suy ra từ câu a).

Điều này không xảy ra do a, b là các số nguyên dương.

Vậy ta có đpcm.

[Tan Thuy Hoang]

Bài 7: Tìm a;b nguyên dương sao cho $a^{2}+4b$ và $b^{2}+4a$ đều là số chính phương 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b$.

Ta có $a^2<a^2+4b\geq a^2+4a<(a+2)^2$.

Do đó$a^2+4b=(a+1)^2$ nên $4b=2a+1$.

Điều trên không xảy ra do VT là số chẵn, trong khi đó VP là số lẻ.

Vậy không tồn tại a, b thỏa mãn.

Một bài tương tự nhưng khó hơn:

$\boxed{13}$: Tìm a, b, c nguyên dương sao cho $a^2+5b,b^2+5c,c^2+5a$ là các số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 06-02-2021 - 10:49

[Mr handsome ugly]

*Bài tập vẫn còn nhiều lắm ; các bạn cứ thoải mái mà từ từ làm   ; sau đây là những bài tiếp theo:

 

Bài 14: Cho a;b;c;d nguyên dương và ab=cd. Chứng minh rằng $a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ luôn là hợp số

 

Bài 15: a) Tìm x nguyên dương để $x^{4}+4$ là số nguyên tố 

             b) Tìm n nguyên dương để $n^{2003}+n^{2002}+1$ là số nguyên tố 

 

Bài 16: Tìm x;y nguyên dương sao cho $3^{x}-y^{3}=1$

 

Bài 17: Cho m;n là số nguyên dương. Chứng minh nếu $7(m+n)^{2}+2mn$ chia hết cho 225 thì mn cũng chia hết cho 225

 

Bài 18: Cho m;n nguyên dương thỏa $3\mid (mn-2)$ thì $x^{2}+x+1\mid x^{m}+x^{n}+1$

 

Bài 19: Cho m;n nguyên dương. Chứng minh nếu $31\mid m^{2}+n^{2}$ thì cả m và n đều chia hết cho 31

 

Bài 20: Chứng minh rằng $2^{n}+1$ luôn chia hết cho n với n là lũy thừa của 3

 

Bài 21: Tìm x;y nguyên dương và p là nguyên tố sao cho $x^{3}+y^{3}=p^{k}$ trong đó k nguyên dương 

 

Bài 22: Tìm số thực a sao cho phương trình $x^{2}-ax-a+2=0$ có nghiệm nguyên 

 

Bài 23: Cho phương trình $3x^{2}-y^{2}=23^{n}$ với n tự nhiên. Chứng minh rằng nếu n lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x;y)

 

LƯU Ý: Các bạn hãy  cố gắng đăng thật nhiều và đa dạng các dạng bài lên topic  ; nếu được thì sau mỗi bài toán hãy giải thêm trường hợp tổng quát của nó để cho topic phong phú hơn và đừng quên những bài đầu tiên của topic chưa có lời giải   

P/S: thật sự xin lỗi các bạn; đề mình gõ nhiều câu bị lỗi hoặc bị thiếu; nếu có sai sót gì các bạn cứ nhắn trực tiếp với mình   ( cảm ơn bạn John Terry đã nhắc câu 15a ; số 4 chứ không phải 1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 07-02-2021 - 09:58

[Tan Thuy Hoang]

Bài 15: a) Tìm x nguyên dương để $x^{4}+4$ là số nguyên tố 

             b) Tìm n nguyên dương để $n^{2003}+n^{2002}+1$ là số nguyên tố 

a) Ta có $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.

Để $x^4+4$ là số nguyên tố thì $x^2-2x+2=1$ và $x^2+2x+2\in\mathbb{P}$.

Từ đó ta tìm được x = 1.

Vậy x = 1.

b) Ta thấy $n^{2003}+n^{2002}+1=(n^{2003}-n^2)+(n^{2002}-n)+(n^2+n+1)=n^2(n^{2001}-1)+n(n^{2001}-1)+(n^2+n+1)$.

Do $2001\vdots 3$ nên $n^{2001}-1\vdots n^3-1$.

Mà $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ nên $n^{2001}\vdots n^2+n+1$.

Từ đó $n^{2003}+n^{2002}+1\vdots n^2+n+1$.

+) Nếu $n^{2003}+n^{2002}+1= n^2+n+1$ thì n = 0 hoặc n = 1. Thử lại chỉ có n = 1 thỏa mãn.

+) Nếu $n^{2003}+n^{2002}+1> n^2+n+1$ thì $n^2+n+1=1$. Từ đó n = 0 (loại).

Vậy n = 1.

[quanjunior]

Mình mới tìm được p thôi còn x,y cụ thể chưa được

Với p=2 ta có $1^{3}+1^{3}=2^{1}$

Với p=3 ta có $1^{3}+2^{3}=3^{2}$

Ta chứng minh với p>3 thì không tồn tại x,y,n thoả mãn đề bài. Thật vậy, giả sử ngược lại, chọn bộ số (x,y,n) sao cho n nhỏ nhất.

Do p>3 nên $x^{2}-xy+y^{2}=(x-y)^{2}+xy> 1 ; x+y> 1$

lại có $p^{n}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

suy ra $x+y;x^{2}-xy+y^{2}$ đều là bội của p

$\Rightarrow (x+y)^{2}-(x^{2}-xy+y^{2})=3xy \vdots p$

Do p>3 nên ta có x chia hết cho p hoặc y chia hết cho p

mà x+y chia hết cho p, suy ra x,y đều chia hết cho p

Điều này cho ta $p^{n-3}=(\frac{x}{p})^{3}+(\frac{y}{p})^{3}$

Bộ số $\left ( n-3,\frac{x}{p},\frac{y}{p} \right )$ cũng thoả mãn, mà n-3<n (vô lí)

[Chinh Minh]

Bài 11
Góp cho topic bài này
Tìm x,y $\in N$ : $7^{x}-3.2^{y}=1$

Ý tưởng : (ko bt nói như nào)

Thử $y=0,1,2,3$ tìm được $x=1$ và $y=1$ thỏa mãn

TH2: $y\geq 4$

$7^x=3.2^y+1$

$VP\equiv 1(mod4)$ nên VT đồng dư với 1 mod 4 suy ra x chẵn

Đặt $x=2m$

$(7^m-1)(7^m+1)=3.2^y$

Nếu $7^m-1$ và $7^m+1$ cùng chia hết cho 4 thì $7^m$ chia hết cho 2(vô lí)

Nên có 4 trường hợp

$\boxed{1}$ $7^m-1=3$ suy ra ko có nghiệm

$\boxed{2}$ $7^m-1=3.2$ suy ra $m=1$ nên $x=2$ và $y=4$

$\boxed{3}$ $7^m-1=1$ suy ra vô ngh

$\boxed{4}$ $7^m-1=2$ suy ra vô ngh

Nên có 2 nghiệm

$x=1$ và $y=1$

$x=2$ và $y=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinh Minh: 07-02-2021 - 08:20

[daiphong0703]

Bài 11
Góp cho topic bài này
Tìm x,y $\in N$ : $7^{x}-3.2^{y}=1$

Mk thử cách này xem sao
Pt GT $\Leftrightarrow 7^{x}-1=3.2^{y}\equiv 0(mod4) \Rightarrow 7^{x}\equiv 1(mod4)\Rightarrow$ x chẵn
Đặt x=2K (K$\in N)$
$\Leftrightarrow 7^{2K}-1=3.2^{y}\Leftrightarrow (7^{K}-1)(7^{K}+1)=3.2^{y}$
TH1 $\left\{\begin{matrix} 7^{K}-1=3.2^{y-1} & \\ 7^{K}+1=2& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow K=0\Rightarrow x=0(L)$
TH2$\left\{\begin{matrix} 7^{K}-1=2 & \\ 7^{K}+1=3.2^{y-1}& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 7^{K}=3 & \\ 7^{K}=3.2^{y-1}-1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 3=3.2^{y-1}-1\Rightarrow y\in \varnothing$
Tương tự cho các TH còn lại sẽ ra dc nghiệm x=y=1 và x=2, y=4

[daiphong0703]

*Bài tập vẫn còn nhiều lắm ; các bạn cứ thoải mái mà từ từ làm   ; sau đây là những bài tiếp theo:

 

 

Bài 17: Cho m;n là số nguyên dương. Chứng minh nếu $7(m+n)^{2}+2mn$ chia hết cho 225 thì mn cũng chia hết cho 225

 

 

Đề HCM thì phải
$7(m+n)^{2}+2mn=7(m-n)^{2}+30mn \vdots 225 \vdots 15\Rightarrow 7(m-n)^{2}\vdots 15 \Rightarrow (m-n)\vdots 15\Rightarrow 7(m-n)^{2}\vdots 225\Rightarrow 30mn\vdots 225\Rightarrow mn\vdots 15$
Mặt khác $m-n\vdots 15\Rightarrow m^{2}-mn\vdots 15\Rightarrow m^{2}\vdots 15\Rightarrow m\vdots 15\Rightarrow n\vdots 15 \Rightarrow mn\vdots 225$

[quanjunior]

 

Bài 21: Tìm x;y nguyên dương và p là nguyên tố sao cho $x^{3}+y^{3}=p^{k}$ trong đó k nguyên dương 

    

 

 

Mình mới tìm được p thôi còn x,y cụ thể chưa được

Với p=2 ta có $1^{3}+1^{3}=2^{1}$

Với p=3 ta có $1^{3}+2^{3}=3^{2}$

Ta chứng minh với p>3 thì không tồn tại x,y,n thoả mãn đề bài. Thật vậy, giả sử ngược lại, chọn bộ số (x,y,n) sao cho n nhỏ nhất.

Do p>3 nên $x^{2}-xy+y^{2}=(x-y)^{2}+xy> 1 ; x+y> 1$

lại có $p^{n}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

suy ra $x+y;x^{2}-xy+y^{2}$ đều là bội của p

$\Rightarrow (x+y)^{2}-(x^{2}-xy+y^{2})=3xy \vdots p$

Do p>3 nên ta có x chia hết cho p hoặc y chia hết cho p

mà x+y chia hết cho p, suy ra x,y đều chia hết cho p

Điều này cho ta $p^{n-3}=(\frac{x}{p})^{3}+(\frac{y}{p})^{3}$

Bộ số $\left ( n-3,\frac{x}{p},\frac{y}{p} \right )$ cũng thoả mãn, mà n-3<n (vô lí)