Chủ đề này có 1 trả lời

[Princess3107]

Cho dãy số $ (x_{n})$ dương thoả $ x_{1}=4$ và $x_{n+1}=45.x_{n}+\sqrt{2024.x_{n}^2+16}$ với n là số nguyên dương. Tìm công thức số hạng tổng quát của $(x_{n})$.

[supermember]

Bài này mấu chốt là cần nhìn ra: $ 45^2 = 2025$

 

Ta có:  $ x_{n+1} - 45 x_n = \sqrt{ 2024 x^{2}_{n} +16}  \implies ( x_{n+1} - 45 x_n )^2 =  2024 x^{2}_{n} +16  \implies x^{2}_{n+1} - 90 x_{n+1} x_n   + 2025 x^{2}_{n} =  2024 x^{2}_{n} +16 $

 

$\implies x^{2}_{n+1} - 90 x_{n+1} x_n   +  x^{2}_{n} = 16 \  (*)$ 

 

tức là giờ ta sẽ tập trung tìm CTTQ của dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ dựa vào đẳng thức $(*)$

 

Thật vậy, dễ thấy từ $(*)$ thì ta cũng có:

 

 

$\implies x^{2}_{n+2} - 90 x_{n+2} x_{n+1}   +  x^{2}_{n+1} = 16 \  (**)$

 

Lấy $2$ đẳng thức $(*)$ và $(**)$ trừ nhau vế theo vế, ta có:

 

 

$ x^{2}_{n+2} -  x^{2}_{n} -  90 x_{n+1}  ( x_{n+2}  - x_n)= 0$

 

$ ( x_{n+2} -  x_{n}) ( x_{n+2} +  x_{n} )  -  90 x_{n+1}  ( x_{n+2}  - x_n)= 0$

Suy ra $  ( x_{n+2} -  x_{n}) ( x_{n+2} +  x_{n}   -  90 x_{n+1} )= 0 \ (***)$

 

Mà rõ ràng từ giả thiết bài toán, ta thấy rõ ràng $ x_{n+1} > 45 x_n > x_n \implies x_{n+2} > x_n $ với mọi số nguyên dương $n$

 

Nên từ đẳng thức $(***)$ thì rõ ràng  $x_{n+2}    -  90 x_{n+1}  +  x_{n} = 0  \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Theo đó, dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, phương trình đặc trưng của nó : $ y^2 -90y +1 =0$ có $2$ nghiệm 

$ y_{1; 2} = 45 \pm 2\sqrt{506}$ và dãy này theo đó sẽ có CTTQ dạng : $ x_n = A \cdot y^{n}_1 + B \cdot y^{n}_2 \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Trong đó, các hệ số $ A; B $ này được xác định thông qua việc giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} x_1 = A y_1 + B y_2 & \\ x_2 = A y^2_{1} + By^2_{2} \end{matrix}\right.$

 

Trong đó, chú ý là theo định lý Viette thì tích $ y_1 \cdot y_2 = 1$ , tức là ta có thể viết hệ này dưới dạng:

 

 

$\left\{\begin{matrix} 4 = A y_1 + \frac{B}{y_1}  & \\ 360 = A y^2_{1} + \frac{B}{y^2_{1}} \end{matrix}\right.$

 

Thực ra cái này giờ đơn giản rồi, tính nhẹ nhàng thì ra được:

 

$ A = \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} ; B = 4y_1 - A \cdot y^{2}_1$

 

Tức là: $ x_n =  \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \cdot y^{n}_{1} +  \left( 4y_1 - \left(  \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \right) \cdot y^{2}_1 \right) \cdot  \frac{1}{ y^{n}_{1}}  = \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \cdot y^{n}_{1} +  \left( 4y_1 - \frac{360y^{2}_1 - 4y_1}{y^{2}_1 - 1}   \right) \cdot  \frac{1}{ y^{n}_{1}} \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Viết gọn nhất dưới dạng:

$ x_n = \frac{360y_1 - 4}{y^{2}_1 - 1} \cdot y^{n-1}_{1} +  \frac{4y_1 - 360}{y^{2}_1 - 1} \cdot  \frac{1}{ y^{n-2}_{1}} \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

 

Trong đó $ y_1 = 45+2\sqrt{506}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 08-11-2023 - 21:25