Chủ đề này có 2 trả lời

[tranducvuong2k6]

Gọi a,b,c là 3 nghiệm của phương trình $X^3-3X+1=0$. Tính $P=(a^{2}-2)(b^{2}-2)(c^{2}-2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-02-2021 - 23:48

[Goodbye2003]

Bài này ý tưởng chính là dùng Viet cho đa thức bậc 3. Dễ thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình. Thực hiện biến đổi tương đương phương trình ta được $x^{3}-3x+1=0\Leftrightarrow x^{3}=3x-1\Leftrightarrow x^{2}=3-\frac{1}{x}(*)$

Nếu a b c là nghiệm của phương trình ban đầu thì thảo mãn(*). Do đó:

$P=(a^{2}-2)(b^{2}-2)(c^{2}-2)=(1-\frac{1}{a})(1-\frac{1}{b})(1-\frac{1}{c})=1-\frac{1}{abc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=1+\frac{a+b+c-ab-bc-ac-1}{abc}=-1$

[Tan Thuy Hoang]

Ta thấy $x^3-3x+1=0\Rightarrow x^3-3x=-1\Rightarrow x^6-6x^4+9x^2=1\Rightarrow (x^2-2)^2-3(x^2-2)+1=0$.

Từ đó ta có $a^2-2;b^2-2;c^2-2$ cũng là ba nghiệm của pt.

Từ đó $(a^2-2)(b^2-2)(c^2-2)=abc=-1$