Đến nội dung

Hình ảnh

$\begin{matrix} y\sqrt{x^{2}-y^{^{2}}}=12 & & \\ x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12 \end{matrix}\ $

* * * * - 1 Bình chọn hệ phương trình

Lời giải fanmu20nam, 10-11-2023 - 19:22

ĐKXĐ: $\left | x \right | \geq \left | y \right |$.

Hệ phương trình tương đương: $\left\{\begin{matrix}y\sqrt{x^2-y^2}=12 (1)\\y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x(2)\end{matrix}\right.$

Từ phương trình $(1)$ và $(2)$, ta có $x<12 (*)$ và $y>0(**)$.

Bình phương phương trình $(2)$, ta có: $x^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=(12-x)^2\Leftrightarrow24=-24x+144$. (Do có $(1)$).

$\Leftrightarrow x=5$ (Thỏa mãn $(*)$). Thế vào $(1) \Rightarrow y\sqrt{25-y^2}=12\Rightarrow y^2(25-y^2)=144$.

$\Leftrightarrow (y^2-16)(y^2-9)=0\Rightarrow (y-4)(y-3)(y+4)(y+3)=0$.

Do có $(**)$ nên $(y-4)(y-3)=0 \Leftrightarrow y\in \left \{ 3;4 \right \}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ và $(**)$).

Vậy $(x;y) \in \left\{(5;3);(5;4) \right\}$.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Hahahahahahahaha

Hahahahahahahaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix} y\sqrt{x^{2}-y^{^{2}}}=12
& & \\ x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12
& &
\end{matrix}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 08-11-2023 - 22:44

Nhà văn Ngô Tất Tố từng hỏi nhà thơ Lưu Trọng Lư rằng: "Huy Cận là thằng cha nào mà làm bài thơ hay thế?"

:oto:   :botay  :botay  :botay  :oto:


#2
fanmu20nam

fanmu20nam

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
✓  Lời giải

ĐKXĐ: $\left | x \right | \geq \left | y \right |$.

Hệ phương trình tương đương: $\left\{\begin{matrix}y\sqrt{x^2-y^2}=12 (1)\\y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x(2)\end{matrix}\right.$

Từ phương trình $(1)$ và $(2)$, ta có $x<12 (*)$ và $y>0(**)$.

Bình phương phương trình $(2)$, ta có: $x^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=(12-x)^2\Leftrightarrow24=-24x+144$. (Do có $(1)$).

$\Leftrightarrow x=5$ (Thỏa mãn $(*)$). Thế vào $(1) \Rightarrow y\sqrt{25-y^2}=12\Rightarrow y^2(25-y^2)=144$.

$\Leftrightarrow (y^2-16)(y^2-9)=0\Rightarrow (y-4)(y-3)(y+4)(y+3)=0$.

Do có $(**)$ nên $(y-4)(y-3)=0 \Leftrightarrow y\in \left \{ 3;4 \right \}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ và $(**)$).

Vậy $(x;y) \in \left\{(5;3);(5;4) \right\}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fanmu20nam: 10-11-2023 - 19:22


#3
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Nếu để ý thêm ta thấy $y$ và $\sqrt{x^2-y^2}$ đã có tổng và tích, và tổng bình phương của hai số hạng này lại là $x^2$.

Khi đó: 

$$x^2=y^2+(\sqrt{x^2-y^2})^2 = (12-x)^2-2.12.$$

Suy ra ta được: $x=5$. 

Từ đây, $y$ và $\sqrt{25-y^2}$ là nghiệm của PT:

$$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow z\in \{3,4\}.$$

Vậy nghiệm $(x,y)\in \{(5,3),(5,4)\}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh