Đến nội dung

Hình ảnh

$\begin{matrix} y\sqrt{x^{2}-y^{^{2}}}=12 & & \\ x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12 \end{matrix}\ $

* * * * - 1 Bình chọn
Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 08-11-2023 - 22:19
hệ phương trình

Lời giải fanmu20nam, 10-11-2023 - 19:22

ĐKXĐ: $\left | x \right | \geq \left | y \right |$.

Hệ phương trình tương đương: $\left\{\begin{matrix}y\sqrt{x^2-y^2}=12 (1)\\y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x(2)\end{matrix}\right.$

Từ phương trình $(1)$ và $(2)$, ta có $x<12 (*)$ và $y>0(**)$.

Bình phương phương trình $(2)$, ta có: $x^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=(12-x)^2\Leftrightarrow24=-24x+144$. (Do có $(1)$).

$\Leftrightarrow x=5$ (Thỏa mãn $(*)$). Thế vào $(1) \Rightarrow y\sqrt{25-y^2}=12\Rightarrow y^2(25-y^2)=144$.

$\Leftrightarrow (y^2-16)(y^2-9)=0\Rightarrow (y-4)(y-3)(y+4)(y+3)=0$.

Do có $(**)$ nên $(y-4)(y-3)=0 \Leftrightarrow y\in \left \{ 3;4 \right \}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ và $(**)$).

Vậy $(x;y) \in \left\{(5;3);(5;4) \right\}$.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Hahahahahahahaha
Đã gửi 08-11-2023 - 22:19

Hahahahahahahaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix} y\sqrt{x^{2}-y^{^{2}}}=12
& & \\ x+y+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=12
& &
\end{matrix}\right. $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 08-11-2023 - 22:44

       Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.

        Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.

                                                                                                                                                             Pauline Kael

 

 

#2
fanmu20nam
Đã gửi 10-11-2023 - 19:22

fanmu20nam

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
✓  Lời giải

ĐKXĐ: $\left | x \right | \geq \left | y \right |$.

Hệ phương trình tương đương: $\left\{\begin{matrix}y\sqrt{x^2-y^2}=12 (1)\\y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x(2)\end{matrix}\right.$

Từ phương trình $(1)$ và $(2)$, ta có $x<12 (*)$ và $y>0(**)$.

Bình phương phương trình $(2)$, ta có: $x^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=(12-x)^2\Leftrightarrow24=-24x+144$. (Do có $(1)$).

$\Leftrightarrow x=5$ (Thỏa mãn $(*)$). Thế vào $(1) \Rightarrow y\sqrt{25-y^2}=12\Rightarrow y^2(25-y^2)=144$.

$\Leftrightarrow (y^2-16)(y^2-9)=0\Rightarrow (y-4)(y-3)(y+4)(y+3)=0$.

Do có $(**)$ nên $(y-4)(y-3)=0 \Leftrightarrow y\in \left \{ 3;4 \right \}$ (Thỏa mãn ĐKXĐ và $(**)$).

Vậy $(x;y) \in \left\{(5;3);(5;4) \right\}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fanmu20nam: 10-11-2023 - 19:22

#3
Baoriven
Đã gửi 10-11-2023 - 19:39

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1423 Bài viết

Nếu để ý thêm ta thấy $y$ và $\sqrt{x^2-y^2}$ đã có tổng và tích, và tổng bình phương của hai số hạng này lại là $x^2$.

Khi đó: 

$$x^2=y^2+(\sqrt{x^2-y^2})^2 = (12-x)^2-2.12.$$

Suy ra ta được: $x=5$. 

Từ đây, $y$ và $\sqrt{25-y^2}$ là nghiệm của PT:

$$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow z\in \{3,4\}.$$

Vậy nghiệm $(x,y)\in \{(5,3),(5,4)\}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$

Trở lại Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình



Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Trung học Cơ sở
  3. → Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình