Chủ đề này có 2 trả lời

[hoten]

Cho $A,B$ là 2 ma trận có cùng kích thước. Chứng minh rằng:
$rank(A+B) \le rank(A) + rank(B)$
$rank(A,B) \le \min( rank(A), rank(B))$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-11-2023 - 23:56
Tiêu đề & LaTeX

[bangbang1412]

Xem mỗi ma trận như một ánh xạ tuyến tính thì hạng của nó là số chiều của ánh xạ tuyến tính liên kết.

• Ta có $\mathrm{rank}(f+g) \leq \mathrm{rank}(f) + \mathrm{rank}(g)$ do $\mathrm{Im}(f+g) \subset \mathrm{Im}(f) + \mathrm{Im}(g)$ và $\dim(V+W) \leq \dim(V) + \dim(W)$.
• Ta có $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(f)$ do $\mathrm{Im}(f \circ g) \subset \mathrm{Im}(f)$. Để chứng minh $\mathrm{rank}(f \circ g) \leq \mathrm{rank}(g)$ ta sẽ chứng minh $\mathrm{Ker}(g) \subset \mathrm{Ker}(f \circ g)$ nhưng điều này là dễ dàng cho $g(x) = 0 \Rightarrow (f \circ g)(x)=0$.

[Konstante]

Câu đầu tiên ta còn có $$\dim (V + W) = \dim V + \dim W - \dim V \cap W \ \text{(công thức Grassmann)}$$Thật vậy, xét ánh xạ tuyến tính $f : V \times W \to V + W$ xác định bởi $(v, w) \mapsto v + w$. Theo công thức số chiều$$\dim V \times W = \dim \text{Im} f + \dim \text{Ker} f$$tức là$$\dim V + \dim W = \dim (V + W) + \dim \text{Ker} f\ \text{(do} \; f \; \text{là toàn ánh)}$$Mà$$\text{Ker} f = \left\{ (v,w) : v + w = 0 \right\} = \left\{(v,-v) : v \in V \cap W \right\}$$do vậy $$\dim \text{Ker} f = \dim V \cap W$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 11-11-2023 - 02:41