Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Những bước đột phá trong phương trình nghiệm nguyên


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 pcoVietnam

pcoVietnam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, tổ hợp đếm và EM

Đã gửi 20-02-2021 - 22:36

Những bước đột phá: 

 

Trong nghiên cứu tìm nghiệm nguyên của một phương trình, người ta đã tìm cách sử dụng nhiều công cụ mới.

 

Trước hết người ta tìm cách quy bài toán số học về bài toán hình học nhờ hệ tọa độ. Chẳng hạn tập nghiệm của phương trình $y=2x+1$ là một đường thẳng, tập nghiệm của phương trình $x^2+y^2=5$ là một đường tròn. Tuy nhiên, ngôn ngữ hình học chưa cho phép phân biệt được những điểm có tọa độ nguyên và những điểm có tọa độ bất kì nên chưa mô tả được nghiệm nguyên của phương trình Diophante một cách thuận tiện.

 

Đến thế kỉ XIX, bài toán tìm nghiệm nguyên có những bước tiến đáng kể với lí thuyết nhóm của Galois, khi đó các nghiệm của phương trình tạo thành một tập hợp có tên là Biểu diễn Galois, chỉ cần biết cấu trúc của tập hợp đó là ta biết được các tính chất của phương trình xuất phát.

 

Đến giữa thế kỉ XX, nhà toán học Pháp gốc Đức Alecxander Grothendieck đã gắn được Biểu diễn Galois với bất kì một phương trình Diophante nào và do đó đã cho phép dịch chuyển được bài toán số học - hình học sang bài toán thuần túy đại số. Năm 1966, ông đã nhận được giải thưởng Fields mang tên nhà toán học Canada John Charles Fields (1863 - 1932). 

 

Từ đó, nhiều nhà toán học tìm cách chuyển đổi từ ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ giải tích, vì các công cụ giải tích với các biến và các hàm sẽ cho phép ta biết được một cách hoàn hảo cấu trúc của đối tượng đại số đó.

 

Nhà toán học Áo Emil Artin đã thực hiện được một phần của sự phiên dịch đó, ông đã lập được sự tương ứng giữa Biểu diễn Galois giao hoán với các hàm tuần hoàn đặc biệt, nhưng vẫn chưa tìm được một công thức chung đẽ lập sự tương ứng giữa một hàm giải tích với các Biểu diễn Galois không giao hoán, mà các biểu diễn này có nhiều hơn và quan trọng hơn.

 

Năm 1967, nhà toán học Mỹ gốc Canada Robert Langlands (sinh năm 1930) đã đưa ra một phương pháp chung xác lập sự tương ứng đó, ông nêu ra một tập hợp hợp các hàm điều hòa đặc biệt có tương ứng $1 - 1$ với các Biểu diễn Galois không giao hoán. Năm 1979, bằng trực giác và tài năng lỗi lạc ông đã đề xuất một chương trình toán học đồ sộ, gọi là Chương trình Langlands có mục đích tầm xa là thống nhất lí thuyết số, hình học - đại số và lí thuyết biểu diễn, tức là tạo ra những nhịp cầu nối giữa số học, hình học, đại số và giải tích, lập một cuốn "từ điển" giữa các ngôn ngữ toán học khác nhau.

Việc A.Wiles chứng minh được định lí lớn Fermat năm 1994 là một thí dụ chứng tỏ hướng đi đúng của Chương trình Langlands.

 

Năm 2000, nhà toán học Pháp Laurent Lafforgue (sinh năm 1966) đã giải quyết được một phần của Chương trình Langlands khi đã thông nhất được các ngôn ngữ đại số và giải tích, do đó năm 2002 ông được nhận Huy chương Fields.

 

Trong Chương trình Langlands, có một Bổ đề cơ bản chưa được chứng minh. Suốt 30 năm, nhiều nhà toán học trong đó Langlands tìm cách chứng minh bổ đề đó nhưng vẫn bó tay. Năm 2004, nhà toán học Pháp Gérard Laumon và nhà toán học Việt Nam Ngô Bảo Châu (sinh năm 1972) đã chứng minh được bổ đề đó đúng với các Nhóm unita. Bốn năm sau, Giáo sư Ngô Bảo Châu đã chứng minh trọn vẹn bổ đề cơ bản đó trong một công trình dày 169 trang, và được nhận Huy chương Fields đúng vào ngày 19-8-2010. Việt Nam trở thành nước thứ hai ở châu Á và nước thứ 15 trên thế giới có công dân được nhận Huy chương này.

 

Một loạt công trình toán học trước đây đã được xây dựng trên Bổ đề cơ bản trong Chương trình Langlands, đến nay chính thức được công nhận. Thành công của Giáo sư Ngô Bảo Châu có thể ví như đã bắc được cây cầu đến một thành phố mà nếu không có cây cầu ấy thì thành phố đó chỉ là một thành phố ảo.

 

Bổ đề cơ bản trong Chương trình Langlands cũng giúp cho việc tìm nghiệm nguyên của một phương trình bước sang một giai đoạn mới. 

(Trích "Phương trình nghiệm nguyên và phương pháp giải" - Vũ Hữu Bình)

 

Link tìm kiếm:

Tóm tắt Bổ đề cơ bản: https://www.mathvn.c...o-bao-chau.html

Định lý lớn Fermat: https://mathworld.wo...astTheorem.html

Biểu diễn Galois: https://thichchemgio...-p-adic-phần-i/

Phương trình Diophante: https://www.slidesha...g-trnh-diophant

 

- Tri ân GS. Ngô Bảo Châu - 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh