Chủ đề này có 22 trả lời

[pcoVietnam]

Xin chào mình là pcoVietnam. Nhận thấy kì thi Olympic 30/4 đã sắp tới mà chuyên đề về Phương trình hàm trên tập rời rạc lại không được chú ý quá nhiều nên hôm nay, sau khi bàn luận với một số người và được sự giúp đỡ của Mr Handsome ugly thì mình xin phép mở một chuyên đề về phương trình hàm để các bạn có thể trao đổi và tích lũy các bài tập phương trình hàm bổ ích phục vụ kì thi.

 

Yêu cầu:

1. Không spam bài tránh loãng topic
2. Hạn chế gửi các bài giải sai vì mình sẽ ẩn chúng
3. Cố gắng giải các bài tập được đăng, nếu bài đó chưa được giải thì khoảng 1-2 ngày sau chủ của bài tập đó nên đưa ra lời giải của chúng
4. Khuyến khích các bạn giải theo nhiều cách nhưng hạn chế đăng bài trùng nhau

Bây giờ thì mình sẽ đăng các bài tập trước cho các bạn tham khảo, nên nhớ kì thi Olympic 30/4 chỉ có dạng đề trong tập $\mathbb{N},\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$.

 

Bài 1:Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$3f(n)-2f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}$

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$(m+n)f(m^2+n^2)=mf(n)+nf(m),\forall m,n\in \mathbb{N}$

Bài 3: Cho hàm $f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1. $f(n+1)>f(n)$
2. $f(f(n))=3n$

Hãy tính $f(2003)$

Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn điều kiện:

$(n-1)^2<f(n)f(f(n))<n^2+n,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Bài 5: Tìm tất cả các hàm số$ f:\mathbb{Q}_{+}^{*}\rightarrow \mathbb{Q}_{+}^{*}$ mà tập  $\mathbb{Q}_{+}^{*}=${ $x\in \mathbb{Q}|x>0$} thỏa mãn:

$f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)},\forall x,y\in \mathbb{Q}_{+}^{*}$

Bài 6: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn

$f(x+y^2+z^3)=f(x)+f^2(y)+f^3(z), \forall x,y,z \in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam: 21-02-2021 - 20:27

[Tan Thuy Hoang]

Bài 1:Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$3f(n)-2f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}$

Thử làm không biết đúng không.

Đặt $g(n)=f(n)-n$. Từ gt ta có $3(g(n)+n)-2(g(f(n))+g(n)+n)=n\Leftrightarrow g(n)=2g(f(n))$.

Lặp lại k lần ta thấy $g(n)=2^k.g(f(f(...f(n))))$.

Do đó $g(n)\vdots 2^k\forall k\in \mathbb{N}*\Rightarrow g(n)=0$.

Từ đó $f(n)=n$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(n)=n$.

P/s: Cảm ơn anh pcoVietnam

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tan Thuy Hoang: 21-02-2021 - 22:15

[pcoVietnam]

Thử làm không biết đúng không.

Đặt $g(n)=f(n)-n$. Từ gt ta có $3(g(n)+n)-2(g(f(n))+n)=n\Leftrightarrow 3g(n)=2g(f(n))\Leftrightarrow g(f(n))=\frac{3}{2}g(n)$.

Lặp lại k lần ta thấy $g(f(f(...f(n))))=\left ( \frac{3}{2} \right )^kg(n)$.

Do đó $g(n)\vdots 2^k\forall k\in \mathbb{N}*\Rightarrow g(n)=0$.

Từ đó $f(n)=n$. Thử lại ta thấy thoả mãn.

Vậy $f(n)=n$.

Hướng đi thì đúng nhưng mà theo hướng đó thì bạn sửa một chút lại là $2g(f(n))=g(n)$ nha.

$2g(f(n))=2[f(f(n))-f(n)] = f(n) -n = g(n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam: 21-02-2021 - 22:10

[Mr handsome ugly]

 

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$(m+n)f(m^2+n^2)=mf(n)+nf(m),\forall m,n\in \mathbb{N}$

 

Từ GT ta có: $m[f(m^{2}+n^{2})-f(n)]=n[f(m^{2}+n^{2})-f(m)]$ Xét m;n cùng khác không $\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{f(m^{2}+n^{2})-f(n)}{f(m^{2}+n^{2})-f(m)}\Leftrightarrow \frac{m}{n}-1=\frac{f(m)-f(n)}{f(m^{2}+n^{2})-f(m)}$ (1)

Quay lại đề bài toán nếu ta thay n=0 vào thì ta được $f(m^{2})=f(0)$

Quay lại (1) thay m;n bằng 2 số chính phương  khác nhau ta được $\frac{m}{n}=1$ 

Tới đây suy ra không tồn tại hàm f(x) thỏa đề ( bài làm hơi kì mong bạn 'chủ thớt" sửa sai giúp  ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 21-02-2021 - 22:50

[pcoVietnam]

Từ GT ta có: $m[f(m^{2}+n^{2})-f(n)]=n[f(m^{2}+n^{2})-f(m)]$ Xét m;n cùng khác không $\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{f(m^{2}+n^{2})-f(n)}{f(m^{2}+n^{2})-f(m)}\Leftrightarrow \frac{m}{n}-1=\frac{f(m)-f(n)}{f(m^{2}+n^{2})-f(m)}$ (1)

Quay lại đề bài toán nếu ta thay n=0 vào thì ta được $f(m^{2})=f(0)$

Quay lại (1) thay m;n bằng 2 số chính phương  khác nhau ta được $\frac{m}{n}=1$ 

Tới đây suy ra không tồn tại hàm f(x) thỏa đề ( bài làm hơi kì mong bạn 'chủ thớt" sửa sai giúp  ) 

Tới đấy bạn ra $m=n$ thì chứng tỏ bài này bị cụt chứ đâu phải không có hàm thỏa đâu 

[Syndycate]

 

Bài 6: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn

$f(x+y^2+z^3)=f(x)+f^2(y)+f^3(z), \forall x,y,z \in \mathbb{N}$

$\text{$P(x,y,z)=P(0,0,0)$ thì khi đó $f(0)^3+f(0)^2=0\rightarrow f(0)=0$}$

$\text{$P(x,y,z)=P(0,1,0)$ thì $f(1)=f^2(1)\rightarrow f(1) =0$ hoặc $f(1)=1$}$

$\text{Với $f(1)=0$ thì $P(x,y,z)=P(x,1,0)\rightarrow f(x+1)=f(x)$}$

$\text{Đến đây sử dụng phép quy nạp thì được $f(a)=0$}$

$\text{Với $f(1)=1$ khi đó $P(x,y,z)=P(x,1,0)\rightarrow f(x+1)=f(x)+1$}$

$\text{Ta quy nạp CM: $f(x)=x$: Với $x=0$,$x=1$ đúng. Giả sử đúng với $f(x)=k$ khi đó $f(k+1)=f(k)+1=k+1$(đúng)}$

$\text{Vậy có hai hàm tm là $f(x)=x$ hoặc $f(x)=0$}$
P/s: Dạo này mình bận quá,  tp bắt đi xét nghiệm covid thử vì gần chỗ mình có ng nhiễm (

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 22-02-2021 - 00:37

[pcoVietnam]

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$(m+n)f(m^2+n^2)=mf(n)+nf(m),\forall m,n \in \mathbb{N}$

Theo yêu cầu của Mr handsome ugly thì mình xin trình bày bài 2

Giải:

Giả sử tồn tại hàm $f$ thỏa điều kiện 

$P(0,n): nf(n^2)=nf(0), \forall n \in \mathbb{N}$

Suy ra $f(n^2)=f(0),\forall n \in \mathbb{N}$

Đặt $g(n)= f(n^2)-f(0),\forall n \in \mathbb{N}$

Thay vào (1) ta được $(m+n)g(m^2+n^2)=mg(n)+ng(m), \forall m,n \in \mathbb{N}$ (2)

Ta lại có $g(0) = 0$ và $g(n^2)=0$ 

Thay m bởi n vào (2) ta có $2ng(2n^2)=2ng(n), \forall n \in\mathbb{N}$

Do đó ta được $g(2n^2)=g(n), \forall n \in \mathbb{N}$

Thay $ m$ bởi $2n^2$ và $n$ bởi $n^2$ ta có

$3n^2g(5n^4)=n^2g(n), \forall n \in \mathbb{N}$

Suy ra $3g(5n^4)=g(n), \forall n \in \mathbb{N}$

Áp dụng liên tục cho k lần ta sẽ được $g(n)\vdots 3^k, \forall n \in\mathbb{N},k\in\mathbb{N}^{*}$ 

Suy ra $g(n)=0, \forall n \in\mathbb{N}$

hay $f(n)=f(0)=const, \forall n\in \mathbb{N}$

[pcoVietnam]

Sau khi đã giải được một nửa trong số chúng thì mình sẽ up thêm vài bài nữa nha

Bài 7: Tìm hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:

$f(f(n))+(f(n))^2=n^2+3n+3,\forall n \in \mathbb{N}$

*Lưu ý: Bài này được lấy từ nguồn nước ngoài, ta cần phải hiểu một số sự khác nhau trong phương trình hàm của ta và nước ngoài. Ở nước ngoài thì kí hiệu $f(n)^k=(f(n))^k$ và $f^k(n)=f(f(f(…f(n))))$ với $k$ lần $f$ như thế. Còn ở Việt Nam thì $f^k(n) = (f(n))^k$ còn $f(f(f(…f(n)))$ với $k$ lần $f$ thì không có kí hiệu nào để thay thế. Vì thế các bạn cần phải chú ý khi làm đề thi bài phương trình hàm để tránh nhầm lẫn

Bài 8: Đặt 

$q=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và gọi $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ là các hàm số thỏa mãn điều kiện $|f(n)-qn|<\frac{1}{q}$ đúng với $\forall n \in \mathbb{N}$

Chứng minh $f(f(n))=f(n)+n, \forall n\in\mathbb{N}$

Bài 9: Tồn tại hay không hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y\in \mathbb{Q}$

Bài 10: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn:

$f(x+1)=f(x)+1; f(x^2)=[f(x)]^2, \forall x\in\mathbb{Q}^{+}$

 

[Cheems]

Bài 9: Tồn tại hay không hàm $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn điều kiện:
$f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y\in \mathbb{Q}$ (1)

Dễ dàng chứng minh f là đơn ánh
$P(0;0): f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$
$P(y;0): f(f(y))=-y$, thay vào (1) ta có $f(x+f(f(y)))=f(x)-f(y)\Leftrightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$
Suy ra $f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y \in\mathbb{Q}$
Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp $f(x)=cx, \forall x \in\mathbb{Q}$, $c$ là hằng số
Mà thế vào (1) ta lại được $c^2=-1$, mâu thuẫn.
Nên không tồn tại hàm thỏa.
P/s Mình là bạn của pcoVietnam, bị nó bắt giải chứ tui không có thích gì đâu huhu. Nhưng mà thằng bạn tui sắp thi Olympic 30/4 nên mình cũng chúc nó giải cao và mình sẽ cùng với nó giải đáp những thắc mắc của các bạn. Thân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cheems: 23-02-2021 - 12:37

[pcoVietnam]

Bài 11: Được đề nghị bỏi Cheems:

Giả sử Josephus có $(n-1)$ người bạn, $n$ người này đứng thành một vòng tròn đánh số từ $1$ đến $n$ theo chiều kim đồng hồ, tự sát theo nguyên tắc, người thứ nhất cầm dao đếm 1 rồi tự sát, người thứ hai đếm 2 rồi tự sát,... Quá trình dừng lại khi còn một người. Gọi $f(n)$ là hàm số biểu thị vị trí của người sống sót đó. Câu hỏi đặt ra là, hãy tính $f(n)$?

@Khó quá ;-; 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam: 22-02-2021 - 23:01

[Mr handsome ugly]

Bài 11: Được đề nghị bỏi Cheems:

Giả sử Josephus có $(n-1)$ người bạn, $n$ người này đứng thành một vòng tròn đánh số từ $1$ đến $n$ theo chiều kim đồng hồ, tự sát theo nguyên tắc, người thứ nhất cầm dao đếm 1 rồi tự sát, người thứ hai đếm 2 rồi tự sát,... Quá trình dừng lại khi còn một người. Gọi $f(n)$ là hàm số biểu thị vị trí của người sống sót đó. Câu hỏi đặt ra là, hãy tính $f(n)$?

@Khó quá ;-; 

Theo mình search google thì vấn đề trên có tên là Josephus  problem và nó hơi khác một chút so với câu hỏi của bạn ( không biết như vậy có loãng topic không ; nếu có vấn đề gì thì bạn "chủ thớt" cứ xóa bài này giúp mình   )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 23-02-2021 - 12:48

[perfectstrong]

Bài 11: Được đề nghị bỏi Cheems:

Giả sử Josephus có $(n-1)$ người bạn, $n$ người này đứng thành một vòng tròn đánh số từ $1$ đến $n$ theo chiều kim đồng hồ, tự sát theo nguyên tắc, người thứ nhất cầm dao đếm 1 rồi tự sát, người thứ hai đếm 2 rồi tự sát,... Quá trình dừng lại khi còn một người. Gọi $f(n)$ là hàm số biểu thị vị trí của người sống sót đó. Câu hỏi đặt ra là, hãy tính $f(n)$?

@Khó quá ;-; 

Như vậy thì ai cũng đếm đúng số thứ tự của mình rồi tự sát hả bạn?

[High]

Bài 10: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn:

$f(x+1)=f(x)+1; f(x^2)=[f(x)]^2, \forall x\in\mathbb{Q}^{+}$

Từ $f(x+1)=f(x)+1$, bằng quy nạp ta được $f(x+k)=f(x)+k, \forall k \in \mathbb{N}$.

Ta có $f((x+n)^2)=(f(x+n))^2=(f(x)+n)^2=(f(x))^2+2nf(x)+n^2,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}, n \in \mathbb{N}$

và $f((x+n)^2)=f^2(x+n)=(f(x)+n)^2=f^2(x)+2nf(x)+n^2,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}, n \in \mathbb{N}$.

$\Rightarrow f(x^2+2nx)=2nf(x)+(f(x))^2$

Thay $x = \frac{a}{b}, n = b ( a, b \in \mathbb{N})$, ta được

$f\left( \left( \frac{a}{b} \right)^2 + 2a \right) = 2bf \left( \frac{a}{b} \right) + \left( f\left( \frac{a}{b} \right) \right) ^2$

$\Leftrightarrow \left( f \left( \frac{a}{b} \right) \right)^2 + 2a = 2bf \left( \frac{a}{b} \right) + \left( f \left( \frac{a}{b} \right) \right)^2$

$\Leftrightarrow f\left(\frac{a}{b} \right) = \frac{a}{b}$

Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{Q}^+$.

[pcoVietnam]

Như vậy thì ai cũng đếm đúng số thứ tự của mình rồi tự sát hả bạn?

Đúng rồi trò chơi kết thúc khi còn người cuối cùng, nhưng mà thứ tự người bắt đầu đến người kết thúc hình như khác nhau thì phải

[pcoVietnam]

Theo mình search google thì vấn đề trên có tên là Josephus  problem và nó hơi khác một chút so với câu hỏi của bạn ( không biết như vậy có loãng topic không ; nếu có vấn đề gì thì bạn "chủ thớt" cứ xóa bài này giúp mình   )

Thực ra là đây là một biến thể của bài toán Josephus, nhưng mà có điều nó phù hợp với phương trình hàm chứ bài kia không giải theo phương trình hàm

Còn về loãng topic thì minh thấy là topic chỉ dùng để trao đổi thôi chứ minh chắc có thể là người ra bài tập chủ yếu nên không sao đâu, cứ tích cực đóng góp

[Cheems]

 

Sau khi đã giải được một nửa trong số chúng thì mình sẽ up thêm vài bài nữa nha

 

Bài 7: Tìm hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:

 

$f(f(n))+(f(n))^2=n^2+3n+3,\forall n \in \mathbb{N}$

 

Mình giải bài này nhé:

Để ý ta có $n^2+3n+3=(n+1)^2+(n+1)+1$

Mà $P(n-1): f(f(n-1))+(f(n-1))^2 = n^2+n+1$

Dự đoán $ f(n)=n+1, \forall n\in\mathbb{N}$

Ta có thể giải bằng hai cách:

Cách 1: Giải bằng phương pháp quy nạp, cái này dễ mấy bạn tự làm

Cách 2: Sử dụng phản chứng:

Giả sử tồn tại hàm $f$ sao cho $f(n)<n+1$

Suy ra $f(f(n))<f(n+1)<n+2 và (f(n))^2<n^2+2n+1$

$\Leftrightarrow f(f(n))+(f(n))^2< n^2+3n+3$ (vô lí)

Tương tự với $f(n)>n+1$

Vậy $f(n)=n+1, \forall n\in\mathbb{N}$

@Update sorry mình đã nghĩ lại là cách 2 nên được gọi là một bước của cách 1 để chứng minh không còn hàm nào thỏa nữa.

 

 

 

 

 

[perfectstrong]

Thực ra là đây là một biến thể của bài toán Josephus, nhưng mà có điều nó phù hợp với phương trình hàm chứ bài kia không giải theo phương trình hàm

Còn về loãng topic thì minh thấy là topic chỉ dùng để trao đổi thôi chứ minh chắc có thể là người ra bài tập chủ yếu nên không sao đâu, cứ tích cực đóng góp

Đấy chính xác là bài toán Josephus chứ còn gì nữa. Và phát biểu ban đầu của bạn thiếu chặt chẽ. Người thứ $k$ sẽ đếm $k$ rồi tự sát, vậy thì người nào cũng tự sát, từ $1$ đến $n$.

[Cheems]

Đấy chính xác là bài toán Josephus chứ còn gì nữa. Và phát biểu ban đầu của bạn thiếu chặt chẽ. Người thứ $k$ sẽ đếm $k$ rồi tự sát, vậy thì người nào cũng tự sát, từ $1$ đến $n$.

Như vậy chỉ có n-1 người tự sát thôi chứ. Đề bài đã bảo là còn 1 người thì ngừng mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cheems: 24-02-2021 - 21:18

[Cheems]

Cho em góp một bài, mặc dù không phải hàm rời rạc nhưng mà mong mọi người giúp đỡ.

Bài 11: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $\forall x,y\in\mathbb{R}$:

              $ f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y),\forall x,y\in\mathbb{R}$

[perfectstrong]

Như vậy chỉ có n-1 người tự sát thôi chứ. Đề bài đã bảo là còn 1 người thì ngừng mà

Thế thì người thứ $n$ sẽ sống $f(n) = n$.