Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\sum \frac{a^{2}}{b}\geq \sum \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{2}}$

Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-11-2023 - 13:39
bất đẳng thức

Lời giải hoangghiep, 21-11-2023 - 22:13

$LHS = \sum \frac{a^2}{b} = \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b}+3 \sum \frac{a^2}{b} \right) \geq \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b}+3\frac{(\sum a)^2}{\sum a} \right)= \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b} +3\sum a \right) = \frac{1}{4} \sum \left(\frac{a^2}{b}+3b\right) = \frac{1}{4} \sum \left(\frac{a^2+b^2}{b}+2b \right)$ $\geq \frac{1}{4} \sum 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{b}.2b}=\frac{1}{4} \sum 2\sqrt{2(a^2+b^2)} = \sum \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}} = RHS $

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Hahahahahahahaha
Đã gửi 21-11-2023 - 13:39

Hahahahahahahaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

cho a,b,c là các số thực dương khác 0. CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}{\sqrt{2}}$


       Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.

        Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.

                                                                                                                                                             Pauline Kael

 

 

#2
hoangghiep
Đã gửi 21-11-2023 - 22:13

hoangghiep

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
✓  Lời giải

$LHS = \sum \frac{a^2}{b} = \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b}+3 \sum \frac{a^2}{b} \right) \geq \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b}+3\frac{(\sum a)^2}{\sum a} \right)= \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b} +3\sum a \right) = \frac{1}{4} \sum \left(\frac{a^2}{b}+3b\right) = \frac{1}{4} \sum \left(\frac{a^2+b^2}{b}+2b \right)$ $\geq \frac{1}{4} \sum 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{b}.2b}=\frac{1}{4} \sum 2\sqrt{2(a^2+b^2)} = \sum \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}} = RHS $


Trở lại Bất đẳng thức và cực trị



Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh

  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Toán Trung học Cơ sở
  3. → Bất đẳng thức và cực trị