$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$. Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$
#1
Posted 24-11-2023 - 20:56
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#2
Posted 24-11-2023 - 21:35
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện:$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$
Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?
Edited by vo van duc, 24-11-2023 - 21:46.
- Saturina likes this
#3
Posted 24-11-2023 - 22:50
Tôi hơi hoài nghi về việc tồn tại hàm số $f(x)$ thoả mãn điều kiện đề bài. Có bạn nào giải tìm hàm $f(x)$ không?
Em biết đáp án bài này nhưng mà không biết giải như nào ạ
Đáp án là $\frac{3\pi}{4}$
$Em$ $đẹp$ $như$ $chiếc$ $cúp$ $Euro$ $2020$ $vậy$
$Vì$ $em$ $là$ $của$ $người$ $Ý$ $chứ$ $không$ $phải$ $Anh$
$Thì$ $chả$ $thế$ $à$ $?$
#4
Posted 24-11-2023 - 23:53
Bằng quy nạp, ta chứng minh được đẳng thức sau với mọi số tự nhiên $N \geq 1$,
$$f(x) = \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1 - x^{2^k}} + x^{2^{N+1}-2}f(x^{2^N}).$$
Như vậy nếu $\left |x \right | <1$ thì ta có (bằng tính liên tục)
$$f(x) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^{2^k-2}\sqrt{1-x^{2^k}}.$$
Do hàm $f(x)$ có tính đối xứng $f(x)=f(-x)$ nên ta có thể giả sử $x \in (0,1)$. Cố định $x$ như vậy, ta thấy
$$f(x) \leq \lim_{N \to \infty}\sum_{k=1}^N x^{2^k-2} \leq \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N x^k = \frac{1}{1- x}$$
và do đó hội tụ điểm.
Tuy nhiên mình không biết là hàm $f(x)$ có liên tục không và $f(1)$ là bao nhiêu.
Edited by bangbang1412, 25-11-2023 - 00:35.
- vo van duc and Saturina like this
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Also tagged with one or more of these keywords: tích phân, giải tích, toán cao cấp
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
Tính góc giữa một tiếp tuyến bất kỳ của đường $c(t) = ( 3\cos t + 6, 4t, 3\sin t+9 )$ với mặt phẳng $y+b=0$Started by Trang792003, Yesterday, 00:32 hình học vi phân, toán cao cấp |
|
|||
|
Toán Đại cương →
Giải tích →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNStarted by dungbruhbruh12345, 20-05-2024 giải tích, toán đại cương and 1 more... |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNStarted by dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, chuyên đề, tài liệu and 3 more... |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x.(e^{x^3}-e^{-x^3})}}$Started by Lyua My, 27-01-2024 giải tích, tích phân |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Cho $x = r\cos(a)$ và $y = r\sin(a)$. Chứng minh $dx.dy = rdr.da$Started by Explorer, 11-01-2024 giải tích, hệ tọa độ cực, hàm số and 1 more... |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users