cho $a,b,c$ thực dương. chứng minh
$\sqrt{(a+b)ab}+\sqrt{(b+c)bc}+\sqrt{(c+a)ca}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$
$\sqrt{(a+b)ab}+\sqrt{(b+c)bc}+\sqrt{(c+a)ca}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Bắt đầu bởi hngmcute, 26-11-2023 - 09:15
Lời giải nguyenhuybao06, 26-11-2023 - 11:36
Bình phương hai vế, ta chứng minh \begin{equation}4\sum a^2b+4\sum ab^2+\sum 8b\sqrt{ac(a+b)(b+c)}\leq9\prod(a+b) \end{equation}
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$8b\sqrt{ac(a+b)(b+c)}=8b\sqrt{(ca+bc)(ab+ca)}\leq4b^2a+4b^2c+8abc$$
Do đó $$\sum 8b\sqrt{ac(a+b)(b+c)}\leq4\sum a^2b+4\sum ab^2+24abc$$
Suy ra $$VT(1)\leq 8\sum a^2b+8\sum ab^2+24abc=8\prod(a+b)+8abc\leq 9\prod(a+b)=VP(1)$$
Bài này ý tưởng bình phương hai vế là khá tự nhiên.
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 26-11-2023 - 11:36
nguyenhuybao06
-
- Hái lộc VMF 2024
-
- 76 Bài viết
Hạ sĩ
✓ Lời giải
Bình phương hai vế, ta chứng minh \begin{equation}4\sum a^2b+4\sum ab^2+\sum 8b\sqrt{ac(a+b)(b+c)}\leq9\prod(a+b) \end{equation}
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$8b\sqrt{ac(a+b)(b+c)}=8b\sqrt{(ca+bc)(ab+ca)}\leq4b^2a+4b^2c+8abc$$
Do đó $$\sum 8b\sqrt{ac(a+b)(b+c)}\leq4\sum a^2b+4\sum ab^2+24abc$$
Suy ra $$VT(1)\leq 8\sum a^2b+8\sum ab^2+24abc=8\prod(a+b)+8abc\leq 9\prod(a+b)=VP(1)$$
Bài này ý tưởng bình phương hai vế là khá tự nhiên.
- hngmcute yêu thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
