$a,b,c>0; a+b+c=3$. CMR $\sum \frac{1}{a+3b}\geq \sum \frac{1}{a+3}$
$\sum \frac{1}{a+3b}\geq \sum \frac{1}{a+3}$
Bắt đầu bởi 98dfgfdubvh, 02-12-2023 - 10:27
Lời giải Hahahahahahahaha, 02-12-2023 - 11:04
với a,b,c> 0;a+b+c=3 bdt cần cm tương đương:
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{b+c+2a}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}$
áp dụng bdt phụ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta có:
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+c+2b}$
tương tự $\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq\frac{2}{a+b+2c};\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+c+2b}\geq \frac{2}{b+c+2a}$
cộng theo vế các bdt trên ta có đpcm
dấu bằng xày ra $<=>a=b=c=1$
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 02-12-2023 - 11:04
Hahahahahahahaha
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
✓ Lời giải
với a,b,c> 0;a+b+c=3 bdt cần cm tương đương:
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{b+c+2a}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+c+2b}$
áp dụng bdt phụ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ ta có:
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+c+2b}$
tương tự $\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq\frac{2}{a+b+2c};\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+c+2b}\geq \frac{2}{b+c+2a}$
cộng theo vế các bdt trên ta có đpcm
dấu bằng xày ra $<=>a=b=c=1$
- Tran Hong Phuc yêu thích
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
