Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Euler-Poincare Formula and 4-Polytopes


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 01-03-2005 - 09:08

Hôm nọ mình có nói sẽ viết gíới thiệu một ít về ngành tóan mình đang học cho một vài bạn ở box "Tóan học cho học sinh trung học", nên hôm nay ngồi viết một ít, coi như vừa để giới thiệu, vừa để ôn lại và vừa để trao đổi với các bạn cùng học ngành này (chắc trên này không có ai). Thật ra mà nói để chủ đề này trong box dành cho học sinh trung học thì không phù hợp lắm, mà nó cũng thuộc hình học Euclid nhiều chiều, nên mình để đây.
Chủ đề này cũng là mục tiêu nghiên cứu chính của thầy mình gần 10 năm nay- tạm gọi là Ziegler's program cho polytope 4 chiều. Ông ấy bắt đầu từ năm 1996- tìm cách phân lớp tất cả các đa diện trong không gian 4 chiều thông qua việc biểu diễn bằng biểu đồ các f-vectors mình sẽ nói ở các bài dứơi đây. Đến nay công việc vẫn chưa hòan tất và có vẻ khó hòan tất, mặc dù thời hạn ông ấy tự đặt ra - là 2006 sắp đến rồi. 2006 là đủ 100 năm kể từ khi Steinitz đưa ra biểu đồ hệ thống tòan bộ các đa diện 3 chiều. Tài liệu và thông tin mới về các thành quả nghiên cứu cho đến nay, thầy mình đều đã đem trình bày ở ICM 2002 tại Trung Quốc, MSRI 2003, và cái PCMI 2004 vừa rồi. Các bạn có hứng tìm hiểu có thể lên arxiv.org để tìm hoặc vào thẳng website của thầy mình để load xuống, ở đây

------------

Giới thiệu chung:

1. Polytope là cái gì?

Polytope là tên gọi tổng quát của tất cả các đa diện lồi trong không gian n chiều, n :D -1. Ví dụ trong không gian 2 chiều thì các Polytope chính là các đa giác, trong không gian 3 chiều thì là các đa diện 3 chiều. Ngày nay khái niệm Polytope đựơc hiểu luôn thành convex polytope tức là các đa diện lồi. Trong tòan bộ chủ đề này tớ cũng chỉ nói đến các đa diện lồi. Định nghĩa cụ thể của một Polytope bất kỳ như sau:

a) Một Polytope P thuộc R^n = là một bao lồi (convex hull ) của một số hữu hạn các điểm trong không gian R^n. Tức là P = conv(S) = { :sum:limits_{i=1}^{n} ai.xi | :sum:limits_{i=1}^{n} ai = 1, ai :D 0 :D i, n :D 1 } với S :in R^(n.d). Cách định nghĩa này gọi là V-description, Polytope đựơc định nghĩa theo kiểu này đựơc gọi là V-Polytope.

Cách dưới đây là một cách định nghĩa khác cho P, gọi là H-description:
b) P = P(A,z) = { x :in R^n | Ax :D z } với A :in R^(n.m)

Giải nghĩa cho dễ hiểu thì thế này cách định nghĩa V-polytope nói rằng: một bao lồi 2 chiều của một tập hợp S là một hình đa giác, trong đó 1 số điểm của S là các đỉnh, số còn lại nằm bên trong đa giác tạo bởi các đỉnh kia. Các đỉnh này chính là các phần tử của bao lồi của S, viết là conv(S).
Còn cách định nghĩa H-Polytope nói rằng: một polytope 2 chiều là phần giao của ít nhất 3 nửa mặt phẳng sao cho hình được tạo ra là một đa giác. Ví dụ hình vuông đơn vị có trung điểm là tâm gốc tọa độ (0,0) là phần giao của 4 nửa mặt phẳng x :D -1, y :D -1, x :D 1, y :D 1.

2. Thế nào là một mặt (face) của một Polytope:

Định nghĩa tổng quát của Polytope dẫn đến một vấn đề đơn giản: với đa diện 3 chiều chúng ta gọi các thành phần của nó là : đỉnh, cạnh, mặt. Vậy với đa diện 4 chiều chúng ta gọi các thành phần của nó là đỉnh, cạnh, mặt, nhưng các thành phần 3 chiều của nó gọi là gì? Người ta gọi nó là các mặt 3 chiều, và tổng hợp lại cách gọi các thành phần của một đa diện n chiều như sau:
Các đỉnh thì gọi là mặt 0 chiều- hay 0-faces, các cạnh là mặt 1 chiều- tức là 1-faces..., cho tới (n-1)-faces. Để ký hiệu nó cho gọn, người ta gọi chúng lần lượt là các f0, f1, f2, ..., fn-1 (hay còn gọi là các f- vectors của một Polytope n chiều).

3. Hệ thức Euler cho đa diện 3 chiều: D - C + M = 2
trong đó D là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của đa diện 3 chiều. Hoặc nếu biểu diễn theo cách gọi tổng quát, chúng ta có : f0 - f1 + f2 = 2

Chúng ta ai cũng biết công thức Euler cho các đa diện 3 chiều ở trên. Leonhard Euler tìm ra công thức này vào năm 1750, nhưng chứng minh của ông ấy bị khiếm khuyết. Mãi cho đến năm 1794- Legendre mới đưa ra đựơc một chứng minh hòan chỉnh đầu tiên. Sau đó, nếu tớ không nhầm, thì Cauchy là người đưa ra chứng minh đựơc dùng phổ biến hiện nay- dùng Duality. Cho tới hiện nay, tớ đựơc biết có khỏang gần 20 chứng minh cho công thức này. Trong đó, chứng minh gây chóang nhất có lẽ là của William Thurston (The Guru of Geometry :D). Các bạn muốn tìm hiểu kỹ có thể vào đây để nghiên cứu các cách chứng minh.


4. Hệ thức Euler-Poincare cho đa diện n chiều[quote]:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_i là các mặt i-faces

Ví dụ:
- cho một đa diện bất kỳ trong không gian 4 chiều, chúng ta có hệ thức:
Hình đã gửiHình đã gửi
(hình lập phương 4 chiều chiếu xuống không gian 3 chiều sử dụng kỹ thuật biểu đồ Schlegel)

- cho một đa diện bất kỳ trong không gian 199.999.999 (đa diện một trăm chín chín triệu chín trăm chín mươi chín ngàn chín trăm chín mươi chín chiều :) ) chiều chúng ta có:
f0 - f1 + f2 - f3.. +/- .... + f199999998 = (zero oops two oops zero.. oops oops ..oops)= TWO :D = 2

Tức là tóm lại- kết quả của hiệu số tổng "sạch mặt chẵn" (:D xóc đĩa đê :D) trừ đi tổng của "sạch mặt lẻ" của một polytope luôn bằng 0 hoặc 2. Nếu polytope có số chiều lẻ, thì hiệu số trên bằng 0, nếu polytope có số chiều chẵn, thì hiệu số trên là 2.

5. Thế lý thuyết đa diện nhiều chiều đựơc việc quái gì?

Về mặt ứng dụng thực tiễn tớ không quan tâm lắm, ngày xưa đọc linh tinh thì biết một ít. Tớ không đảm bảo là tớ nhớ chính xác, nhưng cứ viết ra coi như tạo motivation cho các bạn thích tóan ứng dụng.

Việc nghiên cứu các bài tóan linear optimization - ngành tóan ứng dụng đặc biệt quan trọng trong kinh tế và kỹ thuật (người ta cho rằng đây là ngành tóan phát triển mạnh mẽ và quan trọng nhất trong thế kỷ 20)- đã dẫn đến việc người ta quan tâm đến Simplex algorithm của George Dantzig cũng như các polytopes. Vì các hệ bất phương trình của LP chẳng qua là các polytopes, hay nói ngược lại, các polytopes có thể biểu diễn bằng các bất phương trình này. Bài tóan traveling salesman với số lựơng thành phố là 10 chẳng hạn- tương ứng với một polytopes của không gian 5 chiều, và vì thế, người ta có thể nghiên cứu các polytopes 5chiều để tìm ra giải pháp tối ưu hơn cho vấn đề Traveling Salesman và nhiều bài tóan khác.
...

Về mặt "không" ứng dụng thực tiễn - thì hình học, nhất là các dạng đa diện luôn có một vẻ đẹp nhất định nào đó- mặc dù nhìn nó có vẻ "khô cứng, thô sơ, lạnh lùng, vô cảm và đơn điệu" v.v.v (phần dành cho các nhà văn, nhà báo). Ngày xưa Platon cũng là người mê tóan học, cụ thể là hình học. Trước cửa phòng ông ấy có câu thế này: "Ai không biết hình học, đừng bước vào!" Nhưng thời của Platon, người ta mới chỉ biết các đa diện 3 chiều là cùng, chứ không có cách nào nhìn thấy, hay tưởng tựợng đựơc gì nhiều về các đa diện nhiều chiều hơn. Ngày nay, có một số kỹ thuật cho phép chúng ta nhìn các hình nhiều hơn 3 chiều trong nền không gian 3 chiều- gọi tạm là pseudo-high-dimensition cũng được. Chúng ta đã có thể "nhìn" đựơc những hình 4 chiều- những thứ chỉ tồn tại trong hình học, trong tưởng tượng mà không tồn tại trong thế giới thực, và cả những polytopes mà thực ra không tồn tại cả trong hình học và cũng không thể tưởng tựơng chúng là các đa diện được!! :D Ví dụ như các Correlation Polytopes.
Nói chung những thứ này hấp dẫn đối với tớ hơn là các ứng dụng thực tiễn của lý thuyết đa diện.


(còn tiếp- chắc là dài)
---------------

-Chú ý: vì công thức gõ trong diễn đàn không cho phép hiển thị tổng từ 0 --> n-1, (-1) mũ i, v.v. cho nên tớ phải viết ở dạng như trên.

-Theo tớ được biết thì hệ thức trên đựơc Poincare đưa ra và đã xây dựng hẳn một kỹ thuật mới để chứng minh. Kỹ thuật này có lẽ không xa lạ gì với các bạn học Topology: Homology. Còn tớ mới chỉ học sơ qua giới thiệu về Topology nên tớ cũng chẳng hiểu chứng minh này lắm. :D :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathsbeginner: 12-03-2005 - 20:35

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#2 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 01-03-2005 - 11:17

Hình đã gửi
(hình lập phương 4 chiều chiếu xuống 2 chiều sử dụng kỹ thuật biểu đồ Schlegel)


Hình đã gửi
Hình lập phương 7 chiều chiếu xuống không gian 2 chiều sử dụng biểu đồ Schlegel)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 01-03-2005 - 11:23

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#3 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 02-03-2005 - 18:33

Thật ra mà nói thì một phần lớn lý thuyết đa diện nhìn chung có thể qui về đại số tuyến tính và tóan tổ hợp cho nên nó khá elementary, chứ không phức tạp như các ngành hình học đại số, topo đại số- những ngành mà lý thuyết đã rất phát triển và đựơc xây dựng chồng chéo lên nhau suốt trăm năm nay bởi rất nhiều người.
Có lẽ có một nguyên nhân quan trọng làm cho nó không đựơc phát triển mạnh trong khỏang giữa thế kỷ 19-giữa thế kỷ 20 là vì vào thời điểm Felix Klein đưa ra "Erlangen Programm", thì các bài tóan liên quan đến các tính chất tổ hợp của các đa diện lồi nhiều hơn 3 chiều được gọi là "hopeless hard", chỉ có các tính chất đại số là nghiên cứu đựơc- nhưng lúc đó nó đã nhập vào analytic geometry và linear algebra. Cùng với trào lưu mới là hình học vi phân - một thứ mới toanh, có nhiều việc để làm, các lý thuyết đa diện đi vào quên lãng, không còn thuộc vào mainline của tóan học như nó vốn đã là mainline của tóan học suốt gần mấy ngàn năm (từ Platon, Pytagore cho tới Kopernicus).

Đến đầu thế kỷ 20, thực chất đã có những công trình đột phá về lý thuyết đa diện, ví dụ như Steinitz, Schlegel, Poincare v.v. Steinitz tổng hợp, phân lớp tất cả các đa diện 3 chiều, Schlegel đưa ra kỹ thuật chiếu các hình nhiều hơn 3 chiều về không gian 3 chiều, Poincare tổng hợp hệ thức Euler cho không gian n chiều. Nhưng lúc đó có ít người đi theo hứơng này, nên cũng chả mấy ai quan tâm. Đến đọan giữa thế kỷ 20- khi máy tính bắt đầu được sử dụng, khi các vấn đề tối ưu trong kinh tế, kỹ thuật trở nên quan trọng thì người ta lại tìm lại các lý thuyết về đa diện. Từ những năm 50 trở lại đây, lý thuyết đa diện phát triển rất nhanh.

Hiện nay có khối thứ lằng nhằng trừu tượng liên quan đến nó, cũng có khá nhiều connection giữa lý thuyết đa diện và các lọai tóan khác- mà có lẽ đựơc nhiều người quan tâm nhất là các mối tương quan của nó với hình học đại số (vì số lựơng người học HHDS rất đông đảo). Grothendieck sau khi tìm hiểu mấy cuốn sách về đa diện đều của Coxeter cũng có đưa ra một số vấn đề liên quan đến hình học đại số mà hình như đến nay vẫn chưa đựơc giải quyết. Ngoài ra mấy cái lý thuyết mới coong của hình học vi phân như Hyperkaehler Geometry của Witten- Rolanzky đưa ra năm 1996 (quaternion geometry- tức là hình học vi phân không gian 4n chiều), Correlation polytopes đưa ra năm 1989 (các polytopes với các đỉnh là các ma trận! :) ) với ứng dụng chủ yếu cho các lọai quantum theory cũng có ít nhiều liên hệ với lý thuyết đa diện. Rất tiếc các ngành này tớ chẳng biết gì để mà nói cả.
Nếu trong này có bác nào học về mấy ngành Hyperkaehler geometry thì vào giới thiệu cho tớ với.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#4 hoadaica

hoadaica

    Đại ca mafia Nga

  • Thành viên
  • 475 Bài viết

Đã gửi 02-03-2005 - 20:06

nam ngoai co' mo^t o^ng TS o truong TH Lomonosov , LB Nga duoc nha^n giai truong Lobatrevski nho` nhung thanh cong trong nganh nay`. O^ng hoan` to`a`n chi dung` algebra de^ nghie^n cuu mo^n nay`....
Con cò bay lả bay la,
Bay một hồi mệt, ngồi la quá trời.

#5 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 02-03-2005 - 20:37

Cai´ Hyperkähler geometry thi` bac´ phai hoi' anh Kaka, anh Kaka co hoc ve Hinh` hoc Symplectic da^y´. To´ cung vo ve chut´ cai´ mon´ nay`, nhung chi' trong pham vi cua geometric quantization tho^i. Trong muc Algebraic Topology to´ co´ post bai` ve^` Kähler manifold da^y´. Cai´ ma` bac´ noi´ co´ tuong tac´ voi´ algebraic geometry chinh´ la` quantum cohomology da^y´ bac´, do´ la` viec chuyen cac´ classical Cohomology ring thanh` quantum cohomology rings nho` viec dua the^m 1 Variable moi´ cung` 1 relation moi´ vao` cac´ cohomology classes. Noi´ no^m na quantum cohomology rings la` 1 deformation cua classical rings. Ket´ hop voi´ complexe algebraic geometry ( chu' yeu´ la` phan Kähler manifold) nguoi` ta nha^n tha^y´ Deformation nay` thuong` la` Deformation cua' cac´ ham` Holomorph ( J-curves)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 02-03-2005 - 20:38


#6 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 03-03-2005 - 19:54

Hi Polytopie,

Cái kỹ thuật vẽ biểu đồ Schlegel có vẻ hay nhỉ. Polytopie có thể nói qua nguyên tắc của nó được không? thx.

Khoan hãy nói chuyện 4 chiều, với các đa diện ba chiều thì việc phân loại như thế nào?

#7 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 03-03-2005 - 21:01

Đúng rồi, bác bupbebe nói đến đúng cái mà bản thân em cũng thắc mắc- là tại sao có người đọc topic này mà không hỏi về 2 vấn đề bác hỏi. :P

6. Cái gì là Schlegel diagram?

Schlegel diagram có thể gọi là một mẹo vặt rất đơn giản của hình học: chiếu tất cả các mặt khác của một hình đa diện lồi bất kỳ xuống một mặt của nó. Hoặc nói một cách khác- chúng ta cầm một khung hình lập phương ABCDEFGH lên chẳng hạn, dí thật sát mắt vào một mặt, tạm gọi là mặt ABCD của nó, thì cuối cùng hình ảnh hiện ra là chúng ta nhìn thấy mọi mặt bên trong của hình lập phương này.
Ví dụ:
Hình dưới đây là một hình đa diện trong không gian 3 chiều, nếu chúng ta di chuyển quả cầu phát sáng tới gần mặt trên của hình đa diện đến mức mọi tia sáng chiếu ra từ quả cầu không nhìn thấy các mặt khác của đa diện, ngòai mặt trên cùng đó, thì hình ảnh nhận đựơc ở dưới là hình 2 chiều có bao là mặt trên (gần quả cầu) của hình đa diện ấy.


Hình đã gửi


Nếu nói formal, thì để chiếu một hình ảnh nhiều chiều hơn xuống thấp chiều hơn, chúng ta chỉ việc di chuyển điểm nhìn tới sát một mặt sao cho nó nằm ở miền trong giao bởi mọi đường thẳng đi qua các mặt đa diện khác.
Chiếu từ không gian nhiều chiều hơn vì thế, tương tự. Ví dụ cái hình ở post đầu tiên em đưa lên là hình lập phương trong không gian 4 chiều- gồm 16 đỉnh, 32 cạnh, 32 mặt 2 chiều (hình vuông), và 16 mặt 3 chiều (hình lập phương). Còn làm sao để nhìn đựơc nó thành 2 cái hình lập phương lồng vào nhau thế thì là do cách chiếu Schlegel luôn dùng một mặt (n-1) để chiếu. Ở trong không gian 3 chiều, một mặt (n-1) của một đa diện là một mặt 2 chiều. Trong không gian 4 chiều thì một mặt của nó chính là 1 mặt 3 chiều- tức là hình lập phương! :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 03-03-2005 - 21:19

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#8 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 03-03-2005 - 21:53

7. Phân lớp các đa diện trong không gian 3 chiều.

Steinitz đã làm việc này khá đơn giản: vẽ một mặt phẳng tọa độ 2 chiều, với trục tung là trục f2 (mặt), trục hòanh là trục f0 (đỉnh).
Nhờ công thức f0 - f1 + f2 = 2 cho đa diện 3 chiều chúng ta có những gì?
1) f0 :P 4
2) f2 :D 4
3) f0 :D 2f2 - 4
4) f2 :leq 2f0 - 4

Chứng minh:
1) và 2) thì rõ rồi, vì bất cứ đa diện 3 chiều nào cũng có ít nhất 4 đỉnh, 4 mặt.
3) và 4) tương tự như nhau:
- Vì một mặt có ít nhất 3 cạnh, và mỗi cạnh là giao của 2 mặt => 3f2 :leq 2f1.
Thay vào công thức Euler ở trên chúng ta được 2= f0 - f1 + f2 :leq f0 - 3f1/2 + f2 = f0 - f2/2 = > đpcm.

Vậy thì, chỉ việc kẻ 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm I = (4,4) bị chặn bởi hai nửa mặt phẳng f0 :leq 2f2 - 4 và f2 :leq 2f0 - 4 chúng ta đựơc một cách quạt mở (ra vô cùng) mà bất cứ một điểm nguyên nào nằm trong cách quạt mở này cũng là số đỉnh và số mặt của một đa diện (các bạn thử xem!).

Ví dụ, tại điểm I=(4,4) chúng ta đựơc hình tứ diện. Tại điểm J=(5,5) chúng ta đựơc một đa diện có 5 đỉnh, 8 cạnh, 5 mặt. Tại điểm K= (8,7) chúng ta đựơc một đa diện khác .v.v. Cần chú ý là các điểm nguyên nằm trên đường thẳng f0 = 2f2 - 4 gọi là các đa diện simplicial, còn các điểm nằm trên đường thẳng f2 = 2f0 - 4 gọi là các đa diện simple. Các đa diện Simplicial n chiều là các đa diện mà tất cả các mặt của nó có đúng n cạnh. Các đa diện simple n chiều là các đa diện mà tất cả các đỉnh của nó là giao của đúng n mặt. Ví dụ hình lập phương 3 chiều là một đa diện simple, vì tất cả các đỉnh của nó là giao của đúng 3 mặt. Hai dạng đa diện simple và đa diện simplicial này là các trường hợp extreme bao lấy tòan bộ tính chất tổ hợp (có nghĩa là số lượng đỉnh, cạnh, mặt v.v.) của các đa diện khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 03-03-2005 - 21:53

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#9 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 03-03-2005 - 23:13

Chủ đề này cũng là mục tiêu nghiên cứu chính của thầy mình gần 10 năm nay- tạm gọi là Ziegler's program cho polytope 4 chiều.

À thì ra Polytopie là học trò của ông Ziegler đấy a`? Hôm qua anh vừa định mua cuốn sách về polytopes của ông ấy xong\.

Hiện nay các nghiên cứu về combinatorial geometry nói chung va` polytopes no'i riêng đang rất phát triển. Vớ'i dân trong chuyên ngành Đại số giao hoán thì đây là nhờ vào sự tương ứng giữa simplicial complexes và các vành Stanley-Reisner. Một số ứng dụng hay của hướng nghiên cứu này là những chứng minh rất đẹp cho giả thuyế't chặn trên (Upper Bound Conjecture) cho mặt cầu và giả thuyết về số mặt của một "centrally-symmetric simplicial d-polytopes" (của Barany và Lovasz, hay mạnh hơn nữa là của Bjoerner) - Đây là các kế't quả vào lọai hay nhất của Stanley. Anh nghĩ la` sẽ rất hay nếu Polytopie viết một bài về` các kết quả này (thậm chí là các chứng minh, vì chúng rất đơn giản).
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#10 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 04-03-2005 - 00:29

Bjoerner thì là thầy của thầy em hồi ở MIT, còn Stanley thì nói chung cũng là người trong cùng một hội nghiên cứu mấy hướng này, rất hay hội hè đình đám ở trường em hoặc ở MSRI.
Thầy em có kể chuyện Stanley chứng minh cái giả thuyết của McMullen có tên là G-theorem. Stanley lúc đó nghe tin có chứng minh mới của Lefschetz hay của ai đó trong alg/geo nên lấy kết quả ấy áp dụng sang chứng minh điều kiện đủ của G-theorem mà không hiểu rõ bản thân chứng minh trong alg/geo. kia. Kết quả là chứng minh xong mới có người phát hiện ra bản thân cái chứng minh trong alg/ geo. kia không chính xác. :D May mà về sau có người sửa lại cái kết quả trong alg/geo nên kéo theo chứng minh của Stanley cho G-theorem cũng đúng. Chắc cái Stanley-Reisner ring là cái chứng minh này đây.
Nếu đúng là nó, thì nó có ở trong cuốn "Introduction to toric varieties" của W. Fulton, do nhà xuất bản Princeton university press phát hành, serie Annals of mathematics studies. Bản thân em trình độ về các hứơng algebra và topology coi như số mo, cho nên em không động vào mấy cái này. Nhưng cuốn sách trên em có ở đây, nếu đúng là nó thì em sẽ ngồi đọc thử về viết lên đây- chỗ nào không rõ thì em hỏi bác có đựơc không ạ? :P
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#11 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 04-03-2005 - 17:32

Cảm ơn Polytopie đã chịu khó viết bài. Có lẽ vì việc phân loại cho 3 chiều đơn giản quá nên kỹ thuật tương tự có thể không đủ mạnh cho trường hợp 4 chiều, hoặc có quá nhiều tham số vì có thể chiếu xuống các mặt con khác nhau.

Stanley-Reisner ring xuất hiện ở đây như thế nào? Nếu xem một polytope là một finite simplicial complex thì mất đi những thông tin gì?

#12 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 04-03-2005 - 22:23

Ma^'y ke^'t qua? na`y cu?a Stanley tri`nh ba`y trong cuo^'n Combinatorics and Commutative Algebra ra^'t ddo+n gia?n va` hay\. Hay la` Polytopie ddo.c qua ro^`i vie^'t to'm ta('t le^n dda^y cho mo.i ngu+o+`i cu`ng tham kha?o nhe'\.

Ve^` ca^u ho?i cu?a ba'c bupbebe, kho^ng pha?i polytope na`o cu~ng co' the^? "xem nhu+" mo^.t simplicial complex. No'i chung, ca'ch nhi`n na`y chi? co' i'ch cho ca'c simplicial polytope (convex), nghi~a la` ca'c polytope ma` mo^~i ma(.t cu?a no' la` mo^.t simplex - cha(?ng ha.n nhu+ hi`nh tu+' die^.n lo^`i, ba't die^.n lo^`i la` simplicial polytopes trong khi ddo' hi`nh la^.p phu+o+ng la.i kho^ng pha?i\. Khi P la` mo^.t simplicial polytope thi` ta co' the^? nghie^n cu+'u bie^n (hay khung) cu?a P, dda^y se~ la` mo^.t simplicial complex (co`n go.i la` boundary complex cu?a P).

Ne^'u http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta la` mo^.t simplicial complex tre^n ca'c ddi?nh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta mo^.t va`nh ca'c dda thu+'c http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I_\Delta sinh bo+?i ca'c ddo+n thu+'c co' da.ng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R/I_\Delta go.i la` va`nh Stanley Reisner cu?a http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta. Kha' nhie^`u ti'nh cha^'t thu' vi. cu?a simplicial complex (va` simplicial polytope) ddu+o+.c nghie^n cu+'u tho^ng qua va`nh Stanley-Reisner cu?a chu'ng\.
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#13 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 05-03-2005 - 00:31

Ok cảm ơn bác CXR, em sẽ tóm tắt cái Stanley-Reisner Ring lên đây trong vài ngày nữa.

Gửi anh bupbebe, đúng như bác CXR nói- các simplicial complex nó chỉ tương ứng với các simplicial polytopes- một lớp polytopes đặc biệt, là lớp polytopes "chặn trên" của tất cả các polytopes. Ví dụ như trong các đa diện 3 chiều thì lớp simplicial polytopes là lớp các polytopes thỏa mãn phương trình f0 = 2f2 - 4, mà em đã viết ở bài phân lớp các đa diện 3 chiều.
Trong không gian 4 chiều, tình thế khác. Kết luận đầu tiên là: các polytopes có thể nằm khá lung tung, chứ không nằm kín các điểm nguyên trong một polyhedral cone 3 chiều cố định, tương tự như tất cả các đa diện 3 chiều nằm kín các điểm nguyên trong cái cone 3 chiều nữa. Giả sử dùng các bất phương trình f0 :P 5, f3 :D 5, f1 :leq 10, f1 :leq 4f0 -10, f0 + f3 :leq f1 vì f2 :leq 2f3, f1 :leq f0(f0 -1)/2 để tạo ra một hình 3 chiều mở (không bị chặn ra vô cùng) thì vẫn chưa thể biết chính xác một điểm X nằm trong cái mặt cone 3 chiều mở này có phải là một Polytope hay không.

Em đang phải đi, có gì tối về sẽ viết tiếp ạ.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#14 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 05-03-2005 - 03:14

nói tóm lại là mình cũng vẫn chưa hiểu sư khác biệt giữa Polytop và complex. Thế người ta có định nghĩa được các nhóm (co)homology cho Polytop như cho các simplicial complex không? và nếu có thì xây dựng như thế nào? hoặc giả: Liêu có thể phân loại được các Polytop ví dụ như đua về các không gian có cùng 1 type homotopy với cw-complex hay không? Tính chất topo của các polytop như thế nào? nó thuộc loại k-connected không? Nếu thế có xây dựng được các nhóm đồng luân cho loại polytopy này không? Tớ nghe thấy nói đến tứ diện lồi, bát diện lồi sao nghe giông giống các vật thể plato. Chắc hẳn nghiên cúu polytop cũng có thể dùng đến nhóm rời rạc. Liệu có thể phân loại được các polytop đối xứng không? ( tớ cũng không hiểu có tồn tại polytop "đối xứng" hay không?)
Các Polytop liệu có thỏa mãn hệ thức Euler không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 05-03-2005 - 03:22


#15 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 05-03-2005 - 06:07

Kiến thức về topology của tớ minimum, chỉ thông qua phần point set topology học ở Analysis thôi nên thật sự không hiểu về các complex hay cohomology theory gì cả. Theo tớ lờ mờ hiểu, thì các simplicial polytopes chỉ là một lớp của simpicial complex, nhưng các polytope bất kỳ thì không phải chỉ là một lớp của simplicial complex. Các polytopes nếu gọi theo topology thì có thể gọi là các mảng compact (closed và bounded). Vì thế chắc là tồn tại các cohomology cho polytopes, nhưng có lẽ khái niệm cohomology không được dùng nhiều với polytopes vì người ta không cần dùng đến nó nhiều chăng?
(Nếu tớ hiểu đúng cái cậu gọi là nhóm đối xứng cho polytopes) thì có tồn tại các polytopes đối xứng, hay các lớp polytopes thuộc các nhóm hữu hạn, nhóm rời rạc (coxeter groups chẳng hạn). Còn hệ thức Euler thì như tớ nói ở bài đầu, tất nhiên là đúng cho tất cả các polytopes của n chiều.

Các bác khác biết về cả mấy ngành này xin vào giúp giải thích hộ em với ạ. Em kiến thức các ngành khác hạn chế, chỉ sợ nói sai làm người khác đọc hiểu sai.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#16 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 09-03-2005 - 01:00

Va^'n dde^` na`y ddang hay, Polytopie ma` bo? do+? thi` tie^'c qua'! Tie^'p tu.c ddi chu+' nhi?!
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#17 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 09-03-2005 - 22:17

To´ vua` tim` duoc 1 cuon sach´ co´ le la` se co´ ich´ voi´ Polytopie: Mirror symmetry and algebraic geometry cua' David.A Cox and Sheldon Katz. To´ nghi tat nhien phan nhieu cua cuon sach nay de cap den algebraic geometry, quantum cohomology, topological quantum fields theories,..... nhung Chapter 3 co´ noi´ den Toric geometry, cai´ ma` hinh` nhu Polytopie can tra cuu´ gom co´:
Cones and Fans, Polytopes and homogeneous Coordinates, Kähler Cones and Symplectic geometry, Fano Varieties, Reflexive Polytopes, Automorphisms of Toric Varieties.

Cai´ ma` nguoi` ta nhac den Fano Varieties chang qua la` 1 quantum fano manifold, cai´ nay` to´ cung hoi biet biet 1 chut´. Polytopie cu´ doc cuon sach´ nay` di, biet dau lai quay sang lam` quantum cohomology thi` sao. Theo nhu to´ nhin` vao` cuon sach´ nay` thi` Polytopes duoc viet kha´ ti' mi' do´.
-------
Tuy nhien to´ doc cuon nay` coc´ hieu gi` ca'.

#18 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 10-03-2005 - 01:09

Anh nghĩ polytopes, đa tạp toric và các vấn đề liên quan là chủ đề rất hay. Nếu có thể Polytopied và mọi người cố gắng xây dựng một topic về các kiến thức cơ bản về polytopes, toric varieties, cơ sở Groebner, Groebner fans, Groebner geometry thì sẽ rất hay. Nói chung là kiến thức càng cơ bản, càng hệ thống càng tốt - sẽ rất có ích cho những người ngoài chuyên ngành, hoặc những người gần chuyên ngành mà quan tâm tới (như anh chẳng hạn :ech )
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#19 mathsbeginner

mathsbeginner

    Trung sĩ

  • Founder
  • 120 Bài viết
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 12-03-2005 - 20:19

Hôm nay mới bắt đầu đọc bài này của anh polytopie. Anh cho em hỏi lại về hai định nghĩa

a) Một Polytope P thuộc R^n = là một bao lồi (convex hull ) của một số hữu hạn các điểm trong không gian R^n. Tức là P = conv(S) = {   :sum:limits_{i=1}^{n} ai.xi |   :sum:limits_{i=1}^{n} ai = 1, ai  :(  0  i, n  :angry:  1 } với S  :in  R^(n.d). Cách định nghĩa này gọi là V-description, Polytope đựơc định nghĩa theo kiểu này đựơc gọi là V-Polytope.

Cách dưới đây là một cách định nghĩa khác cho P, gọi là H-description:
b) P = P(A,z) = { x :in   R^n | Ax :leq   z } với A :in   R^(n.m)

Định nghĩa a)

P = conv(S) = {  :sum:limits_{i=1}^{n}  ai.xi |  ai = 1, ai  :angry:   0 ,i,  n :geq   1 } với S :in  R^(n.d)

theo em nghĩ anh định nói i chạy từ 1 đến d phải không ạ? S ở đây hiểu như một ma trận hay một điểm trong không gian http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n.d chiều chắc đều được cả. Còn trong định nghĩa thứ 2 chắc A được hiểu là một ma trận phải không ạ? Chẳng hạn như trong ví dụ hình vuông anh đưa ra thì A là ma trận
1 1
1 -1
-1 1
-1 -1

Em hiểu vậy có đúng không ạ?

#20 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 14-03-2005 - 00:54

Để anh trả lời nhanh vâỵ, máy tính dính nhiều spy với adware quá :(

Vì hệ thống gõ công thức của diễn đàn chưa hòan thiện - nên việc biểu diễn công thức với anh có hơi bị khó khăn và anh viết không chính xác đọan trên. Cụ thể thì cái định nghĩa trên có thể viết tường tân thế này:

Một Polytop P trong một không gian R mũ d được định nghĩa là P = conv(S) = { tổng từ i chạy từ 1 tới n của ai.xi, trong đó ai dương với mọi i và tổng từ i chạy từ 1 đến n của ai bằng 1 }. S là tâp hợp của một số m điểm trong không gian R mũ d nhân t nào đó, còn m lớn hơn hoặc bằng n.
Sở dĩ viết S thuộc không gian R mũ d.t là vì rất có thể conv(S) có số chiều nhỏ hơn số chiều mà các điểm của S nằm trong. Ví dụ nếu S gồm 5 điểm thẳng hàng trong không gian 3 chiều thì chúng ta chỉ cân 2 điểm đâu và cuối của S để tạo ra gói lồi của S. Như vâỵ chiều của gói lồi này là 2, nhỏ hơn chiều của các điểm của S, là 3.


----


Chú thích: nếu em chưa rõ đọan trên:

S là tâp hợp của m điểm trong không gian d chiều. m có thể lớn hơn cũng có thể nhỏ hơn d (ví dụ tâp hợp S gồm 2 điểm trong không gian 5 chiều hoặc tâp hợp S gồm 10 điểm trong không gian 3 chiều). Nhưng thông thường thì người ta qui định m lớn hơn hoặc bằng d, vì nếu m nhỏ hơn d thì không gian cân xét S có thể qui về không gian m chiều là đủ rồi.

Một gói lồi của một tâp S gồm 10 điểm trong không gian 3 chiều có thể được căng bởi cả 10 điểm của S (trường hợp tât cả các điểm không biểu diễn được qua tổ hợp lồi của 9 điểm còn lại) mà cũng có thể là 2 điểm (trường hợp tât cả các điểm của S nằm trên một đọan thẳng) chẳng hạn.

Ví dụ nếu S là tâp hợp gồm 4 điểm (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) trong không gian 2 chiều - thì gói lồi của nó chính là hình vuông đi qua 4 điểm này. Dễ thâý là không có điểm nào trong 4 điểm trên là nằm trong bao lồi của 3 điểm còn lại, và tât cả các điểm nằm trong hình vuông đó có thể biểu diễn bằng tổ hợp lồi của 4 điểm trên.

Tổ hợp lồi là cái gì?
Ví dụ nếu S gồm 4 điểm (0,0), (1/2,0), (2/3,0), (1,0) thì hai điểm (0,0) và (1,0) chăng lên gói lồi của S. Vì mọi điểm nằm giữa 2 điểm này đều có thể biểu diễn bằng a1.(0,0) + a2.(1,0) với a1 + a2 = 1 và a1, a2 lớn hơn 0. Trong không gian lớn hơn tình huống tương tự.
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh