Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 5 Bình chọn

$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 MrMATH

MrMATH

    Nguyễn Quốc Khánh

  • Hiệp sỹ
  • 4047 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-03-2005 - 16:28

Bài toán: Cho 4 số dương $a,b,c,d$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$$

#2 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 05-09-2012 - 07:06

1/ Giải : Áp dụng Cauchy, Ta có
$\frac{b}{c+b} + \frac{b+c}{d+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\geq \sqrt[3]{\frac{ab}{(a+b+c)(c+b+d)}}$
$\frac{c}{c+b} + \frac{d}{d+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\geq \sqrt[3]{\frac{cd}{(a+b+c)(c+b+d)}}$
Cộng 2 vế rồi nhân chéo lên ta có đpcm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranhydong: 05-09-2012 - 11:37


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2012 - 09:42

1/ Giải : Áp dụng Cauchy, Ta có
$\frac{a}{a+b} + \frac{c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+d}\geq \sqrt[3]{\frac{ac}{(a+b+c)(a+b+d)}}$
$\frac{b}{a+b} + \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{d}{a+b+d}\geq \sqrt[3]{\frac{bd}{(a+b+c)(a+b+d)}}$
Cộng 2 vế rồi nhân chéo lên ta có đpcm : Dấu ''='' xảy ra khi : $\frac{a}{b}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b}{d}$

Lơi giải rất đẹp nhưng hình như bạn nhầm đề bài và sai về bản chất của $AM-GM$ :mellow:
Lời giải chính xác như sau:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{b}{b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{a}{a+b+c}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{ab}{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
$$\frac{c}{b+c}+\frac{d}{b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{cd}{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
Cộng vế the0 vế 2 bất đẳng thức trên ta được:
$$3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}}{\sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}\geq \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ {\begin{matrix} \frac{b}{b+c}=\frac{b+c}{b+c+d}=\frac{a}{a+b+c}\\ \frac{c}{b+c}=\frac{d}{b+c+d}=\frac{b+c}{a+b+c} \end{matrix}
Giải hệ này ta được $a=2b=2c=d$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-09-2012 - 09:45

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#4 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-09-2012 - 10:38

Từ bài toán này ta có được bất đẳng thức liên quan: chứng minh tương tự $\sqrt[3]{(a+b+c)(a+b+d)}\geq \sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bd}$

#5 tranhydong

tranhydong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:10CT,THPT chuyên Lê Hồng Phong,TP HCM

Đã gửi 05-09-2012 - 11:34

=)) chết , sáng vội quá gõ nhầm :D mod thông cảm .

#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-09-2012 - 23:05

Chấm điểm
WhjteShadow: 5 điểm

tranhydong: 5 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh