Hình học Fractal
Hình học Fractal là gì?
Một cuộc cách mạng trong vấn đề xử lý ảnh "thế giới thực" đã xảy ra cùng với sự ra đời cuốn sách "Hình học Fractal của tự nhiên" (the Fractal Geometry of Nature) của tác giả Mandelbrot.
Theo tác giả, khái niệm Fractal là cấu trúc thể hiện sự gần giống nhau về hình dạng của các hình thể kích cỡ khác nhau. Nếu bạn nghiền một củ khoai tây rán dòn bạn sẽ có vô số những mảnh vỏ lớn nhỏ, các mảnh này có thể gọi là Fractal. Mandelbrot chỉ ra rằng, có thể tìm ra các cấu trúc và qui luật để tạo các hình dạng Fractal, do đó có thể coi Fractal như là các hình cơ bản của hình học phẳng Ơ-cơ-lit cùng với đường thẳng, hình chữ nhật, hình tròn. Fractal không phụ thuộc vào độ phân giải của hình, đó là những hình ảnh nhỏ, có thể vẽ được bằng một bộ hữu hạn thuật toán như quay hình, co dãn, biến đổi từ một hình nào đó. Các phép toán trên thực hiện với các hệ số được gọi là hệ số affin. Một bức tranh có thể được fractal hóa và ta có thể khôi phục nó nhờ các hệ số affin. Trên thực tế đối với các hình rất ngẫu nhiên thì các hệ số affin tìm được rất khó. Trước kia tính bằng tay, người ta phải mất hàng ngày, hàng tuần.
Với dự phát triẻn của côngnghệ thông tin thì việc thể hiện các hình học Fractal đã đơn giãn đi nhiều
MÌnh chỉ mời biết đến thế , mọi người ai biết hơn thì post lên nhé!
#2
Đã gửi 18-04-2012 - 10:26
Crystal
-
- Hiệp sỹ
-
- 5534 Bài viết
ANGRY BIRDS
Fractal là một thuật ngữ do nhà Toán học Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có đặc trưng về độ dài. Mandelbrot là nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Ông nó rằng: “Các đám mây không phải là hình cầu, các ngọn núi không phải là hình nón”. Theo ông Fractal là chỉ những đối tượng hình học có hình dáng ghồ ghề, không trơn nhẵn trong thiên nhiên. Cụ thể hơn đó là những vật thể có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi nhất định, có nghĩa là khi ta chia một vật thể fractal, với hình dáng ghồ ghề, gãy góc ra thành những phần nhỏ thì nó vẫn có được đặc tính đối xứng trong một cấu trúc tưởng như hỗn đoạn. Hình dáng các đám mây, đường đi của các tia chớp là những ví dụ mà ta dễ nhìn thấy được.
Rất nhiều người, khi có dịp làm quen với hình học fractal đã nhanh chóng thích thú có khi đến say mê, bởi nhiều lý do: Một là, hình học fractal ra đời và phát triển với nhiều ý tưởng mới lạ, độc đáo, gợi cho ta một cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quá quen thuộc do hình học Euclid đưa lại từ mấy nghìn năm nay. Hai là, hình học fractal thường được xây dựng với quy tắc khá đơn giản, nhưng đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất đẹp. Ba là, hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có khi rất bất ngờ vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu khí, chế tạo dụng cụ chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm nhạc. Bốn là, hình học fractal là một ngành toán học cao cấp, hiện đại nhưng một số ý tưởng của nó, một số kết quả đơn giản của nó có thể trình bày thích hợp cho đông đảo người đọc.
Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử. Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn mọi vật dưới dạng “đều đặn”, ”trơn nhẵn”. Với những hình dạng trong hình học Euclid ta không thể hình dung và mô tả được nhiều vật thể rất quen thuộc xung quanh như quả núi, bờ biển, đám mây, nhiều bộ phận trong cơ thể như mạch máu… là những vật cụ thể cực kỳ không đều đặn không trơn nhẵn mà rất xù xì, gồ ghề. Một ví dụ đơn giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta không thể có được câu trả lời. Nếu dùng cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ bao nhiêu đi nữa ta cũng đã bỏ qua những lồi lõm giữa hai đầu của thước đo ấy, nhất là chỗ bờ đá nhấp nhô. Và với thước đo càng nhỏ ta có chiều dài càng lớn và có thể là… vô cùng lớn. (theo vi.wikipedia.org).
Hình học fractal – điều kì diệu của tự nhiên. Cùng nhau chiêm ngưỡng vẻ đẹp của hình học Fractal nhé.
Tại sao môn hình học được xem là "khô cứng" và "lạnh lẽo"? Một trong lý do cơ bản nhất là vì nó không thể mô tả được thế giới tự nhiên xung quanh chúng ta. Những đám mây trôi lơ lững không phải là những quả cầu, những ngọn núi nhấp nhô không phải là những chóp nón, những bờ biển thơ mộng không phải là những đường tròn. Từ cảm nhận trực quan này, năm 1982, nhà toán học thiên tài Mandelbrot nảy sinh ra ý tưởng về sự tồn tại của một môn "Hình học của tự nhiên", Fractal Geometry. Từ đây, tôi và bạn có thể mô tả một đám mây một cách chính xác như một kiến trúc sư thiết kế căn nhà của họ.
Một fractal là gì? Cho đến giờ các nhà toán học không thể đưa ra khái niệm chính xác. Nhưng ta có thể mô tả một vài đặc trưng chính của nó như sau:
Từ những cảm nhận đầu tiên của Mandelbrot, Fractal là những vật thể hình học có cấu trúc nhưng quá bất thường để có thể mô tả bằng hình học Euclide. Một fractal bao gồm nhiều phần nhưng mỗi phần lại là một hình ảnh copy thu nhỏ của vật thể đó. Ví như một cây sẽ có nhiều cành, và mỗi cành lại có nhiều cành khác… Vì vậy nếu ta cắt một cành ra thì ta sẽ thấy nó rất giống với toàn bộ thân cây. Đặc điểm này của Fractal được gọi là tính tự đồng dạng (self-similar).
Tính chất quan trọng thứ hai là số chiều Hausdorf lớn hơn số chiều tô pô của nó. Đó là cái gì vậy? Ta hay tưởng tượng, diện tích một hình vuông sẽ tăng lên gấp bao nhiêu lần khi chiều dài cạnh tăng lên 3 lần? Câu trả lời là $9 = {3^2}$. Vậy hãy xem bông hoa tuyết Koch snowflake dưới đây sẽ tăng diện tích lên bao nhiêu lần khi tăng đường kính gấp $1 + \sqrt 2 $ lần nhé. Thật đáng ngạc nhiên. Câu trả lời lại là 7 lần. Bới vì chúng ta ghép 6 hình bông hoa tuyết quanh bông hoa đầu tiên thì sẽ được một bông hoa tuyết mới có đường kính… Bạn hãy thử xem.
Ngày nay, các nghiên cứu, ứng dụng thực tế liên quan đến Fractal đang ngày càng tăng như những bông hoa bừng nở khi mùa xuân đến. Từ thị trường chứng khoán đến vật lý thiên văn, từ sinh học đến hóa học đâu đâu người ta cũng thấy bóng dáng của Fractal. Các hội thảo, hội nghị quốc tế liên ngành về Fractal ngày càng nhiều. Còn bạn? Bạn có sẳn sàng và có muốn bước vào thế giới kỳ ảo này không?
Rất nhiều người, khi có dịp làm quen với hình học fractal đã nhanh chóng thích thú có khi đến say mê, bởi nhiều lý do: Một là, hình học fractal ra đời và phát triển với nhiều ý tưởng mới lạ, độc đáo, gợi cho ta một cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quá quen thuộc do hình học Euclid đưa lại từ mấy nghìn năm nay. Hai là, hình học fractal thường được xây dựng với quy tắc khá đơn giản, nhưng đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất đẹp. Ba là, hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có khi rất bất ngờ vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu khí, chế tạo dụng cụ chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm nhạc. Bốn là, hình học fractal là một ngành toán học cao cấp, hiện đại nhưng một số ý tưởng của nó, một số kết quả đơn giản của nó có thể trình bày thích hợp cho đông đảo người đọc.
Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử. Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn mọi vật dưới dạng “đều đặn”, ”trơn nhẵn”. Với những hình dạng trong hình học Euclid ta không thể hình dung và mô tả được nhiều vật thể rất quen thuộc xung quanh như quả núi, bờ biển, đám mây, nhiều bộ phận trong cơ thể như mạch máu… là những vật cụ thể cực kỳ không đều đặn không trơn nhẵn mà rất xù xì, gồ ghề. Một ví dụ đơn giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta không thể có được câu trả lời. Nếu dùng cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ bao nhiêu đi nữa ta cũng đã bỏ qua những lồi lõm giữa hai đầu của thước đo ấy, nhất là chỗ bờ đá nhấp nhô. Và với thước đo càng nhỏ ta có chiều dài càng lớn và có thể là… vô cùng lớn. (theo vi.wikipedia.org).
Hình học fractal – điều kì diệu của tự nhiên. Cùng nhau chiêm ngưỡng vẻ đẹp của hình học Fractal nhé.
Tại sao môn hình học được xem là "khô cứng" và "lạnh lẽo"? Một trong lý do cơ bản nhất là vì nó không thể mô tả được thế giới tự nhiên xung quanh chúng ta. Những đám mây trôi lơ lững không phải là những quả cầu, những ngọn núi nhấp nhô không phải là những chóp nón, những bờ biển thơ mộng không phải là những đường tròn. Từ cảm nhận trực quan này, năm 1982, nhà toán học thiên tài Mandelbrot nảy sinh ra ý tưởng về sự tồn tại của một môn "Hình học của tự nhiên", Fractal Geometry. Từ đây, tôi và bạn có thể mô tả một đám mây một cách chính xác như một kiến trúc sư thiết kế căn nhà của họ.
Một fractal là gì? Cho đến giờ các nhà toán học không thể đưa ra khái niệm chính xác. Nhưng ta có thể mô tả một vài đặc trưng chính của nó như sau:
Từ những cảm nhận đầu tiên của Mandelbrot, Fractal là những vật thể hình học có cấu trúc nhưng quá bất thường để có thể mô tả bằng hình học Euclide. Một fractal bao gồm nhiều phần nhưng mỗi phần lại là một hình ảnh copy thu nhỏ của vật thể đó. Ví như một cây sẽ có nhiều cành, và mỗi cành lại có nhiều cành khác… Vì vậy nếu ta cắt một cành ra thì ta sẽ thấy nó rất giống với toàn bộ thân cây. Đặc điểm này của Fractal được gọi là tính tự đồng dạng (self-similar).
Tính chất quan trọng thứ hai là số chiều Hausdorf lớn hơn số chiều tô pô của nó. Đó là cái gì vậy? Ta hay tưởng tượng, diện tích một hình vuông sẽ tăng lên gấp bao nhiêu lần khi chiều dài cạnh tăng lên 3 lần? Câu trả lời là $9 = {3^2}$. Vậy hãy xem bông hoa tuyết Koch snowflake dưới đây sẽ tăng diện tích lên bao nhiêu lần khi tăng đường kính gấp $1 + \sqrt 2 $ lần nhé. Thật đáng ngạc nhiên. Câu trả lời lại là 7 lần. Bới vì chúng ta ghép 6 hình bông hoa tuyết quanh bông hoa đầu tiên thì sẽ được một bông hoa tuyết mới có đường kính… Bạn hãy thử xem.
Ngày nay, các nghiên cứu, ứng dụng thực tế liên quan đến Fractal đang ngày càng tăng như những bông hoa bừng nở khi mùa xuân đến. Từ thị trường chứng khoán đến vật lý thiên văn, từ sinh học đến hóa học đâu đâu người ta cũng thấy bóng dáng của Fractal. Các hội thảo, hội nghị quốc tế liên ngành về Fractal ngày càng nhiều. Còn bạn? Bạn có sẳn sàng và có muốn bước vào thế giới kỳ ảo này không?
#3
Đã gửi 18-04-2012 - 14:32
Crystal
-
- Hiệp sỹ
-
- 5534 Bài viết
ANGRY BIRDS
I) Fractal là gì?
1) Vì sao phải là đường thẳng?
2) Vì sao phải là hình vuông?
3) Vì sao phải là những hình đối xứng?
…
Từ những câu hỏi đó Mandelbrot đã đưa ra một thứ hình học đẹp tuyệt vời, đó là fractal. Môn hình học miêu tả xác thực cuộc sống hơn hình học Ơclit. Thế fractal là gì?
Có thể định nghĩa một cách nôm na với fractal không ngẫu nhiên như sau (nghĩa là có cái ngẫu nhiên). Những đối tượng hình học nằm trên đường thẳng, mặt phẳng, không gian có tính chất tự đồng dạng. Được gọi là fractal.
Có thể giải thích là, những đối tượng hình học được xây dựng bằng những quy tắt nào đó. Để hiểu rõ hơn, ta đưa ra một vài ví dụ
II) Ví dụ
1) Tập Cantor
Xét đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Ta thực hiện theo quy tắc sau.
i) Chia thành ba phần đều nhau, và bỏ đi phần hai ( phần giữa)
ii) Hai phần 1 và 3 thực hiện theo bước i)
Quy tắc được mô tả bởi hình ảnh sau
2) Bông tuyết Koch
Được mô tả bằng hình ảnh sau
Ta nhận được bông tuyết Koch sau
3) Tam giác Sierpinski
Được thực hiện theo hình ảnh sau
Ta nhận được tam giác Sierpinski sau:
Ngoài fractal không ngẫu nhiên còn có một fractal ngẫu nhiên. Fractal ngẫu nhiên chỉ khác fractal không ngẫu nhiên một đều đó là các quy tắc thực hiện cũng một cách ngẫu nhiên. Ví dụ trong tập Cantor, ta không xóa đi phần giữa, mà xóa đi một phần ngẫu nhiên. Có thể là, gieo con xúc sắc nếu rơi 1 hoặc 2 chấm thì có thể bỏ đi phần 1. Nếu xuất hiện 3,4 thì ta bở đi phần 2. Còn nếu xuất hiện 5,6 thì bỏ đi phần 3.
Hiện nay, môn hình học này có rất nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong cuộc sống. Mời các bạn cùng trao đổi về thứ tuyệt đẹp xa xỉ này.
Sau đây là một số hình tuyệt đẹp. Có những hình rất gần gũi với cuộc sống. Mời các bạn thưởng thức
Cõ lẽ trong lịch sử phát triển của toán chưa có một môn hoc nào huyền bí và lãng mạn đến vậy… trong bài viết này tôi sẽ không nhắc nhiều nữa những ứng dụng to lớn của môn học này mà chỉ nêu lên một số câu hỏi nho nhỏ.
Có lẽ ai trong chúng ta cũng quen với số $\pi $, vậy $\pi $ là gì? ko phải ngẫu nhiên trong toán học nảy sinh ra số $\pi $ để rồi ngày nay ta dùng nó. Nói đến số $\pi $ người ta ko thể ko nhắc đến hình tròn, và hình tròn nó chứa đựng cho mình một tính chất rất lạ: độ dài đường tròn lớn hơn đường kính của nó một số lần ko fụ thuộc vào bản thân hình tròn đó? Tại sao các hình tròn lại giống nhau?…và còn nhiều nữa các câu hỏi cứ ám ảnh những ai đam mê hình học Ơclit…
Nhưng có một câu hỏi làm điên đảo nhiều người nhất đó là: “Liệu có tồn tại một đối tượng có chiều là $\pi $“. Nếu chúng ta hiểu khái niệm chiều một cách thô sơ nhất đó là số toạ độ ít nhất dùng để xác định vị trí duy nhất của một điểm trong không gian thì hiển nhiên số chiều fải là tự nhiên, và đáp án cho cái câu hỏi ngớ ngẩn trên đương nhiên là ko có. Nhưng có một khái niệm chiều suy rộng khác ( giả sử định nghĩa của nhàtoán học Đức Hausdorf) chiều được cho bởi công thức $n = \frac{{\ln N}}{{\ln k}}$ và khi đó cái câu hỏi ngớ ngấn trên ko còn tầm thường nữa: Có tồn tại các số tự nhiên $N,k$ sao cho $\pi = \frac{{\ln N}}{{\ln k}}$? vẫn là một câu hỏi hóc búa…
Một câu hỏi khác cũng không kém tính thời sự đó là "Có tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sin n = \frac{1}{\pi }$"
Đó là những điều thú vị cho những ai hướng đến thế giới Fractal kì diệu!
Mời các bạn ghé thăm trang sau để cảm nhận sự lung linh huyền ảo thật sự của Fractal…
http://www.allisonart.com/index.html
1) Vì sao phải là đường thẳng?
2) Vì sao phải là hình vuông?
3) Vì sao phải là những hình đối xứng?
…
Từ những câu hỏi đó Mandelbrot đã đưa ra một thứ hình học đẹp tuyệt vời, đó là fractal. Môn hình học miêu tả xác thực cuộc sống hơn hình học Ơclit. Thế fractal là gì?
Có thể định nghĩa một cách nôm na với fractal không ngẫu nhiên như sau (nghĩa là có cái ngẫu nhiên). Những đối tượng hình học nằm trên đường thẳng, mặt phẳng, không gian có tính chất tự đồng dạng. Được gọi là fractal.
Có thể giải thích là, những đối tượng hình học được xây dựng bằng những quy tắt nào đó. Để hiểu rõ hơn, ta đưa ra một vài ví dụ
II) Ví dụ
1) Tập Cantor
Xét đoạn thẳng có độ dài bằng 1. Ta thực hiện theo quy tắc sau.
i) Chia thành ba phần đều nhau, và bỏ đi phần hai ( phần giữa)
ii) Hai phần 1 và 3 thực hiện theo bước i)
Quy tắc được mô tả bởi hình ảnh sau
2) Bông tuyết Koch
Được mô tả bằng hình ảnh sau
Ta nhận được bông tuyết Koch sau
3) Tam giác Sierpinski
Được thực hiện theo hình ảnh sau
Ta nhận được tam giác Sierpinski sau:
Ngoài fractal không ngẫu nhiên còn có một fractal ngẫu nhiên. Fractal ngẫu nhiên chỉ khác fractal không ngẫu nhiên một đều đó là các quy tắc thực hiện cũng một cách ngẫu nhiên. Ví dụ trong tập Cantor, ta không xóa đi phần giữa, mà xóa đi một phần ngẫu nhiên. Có thể là, gieo con xúc sắc nếu rơi 1 hoặc 2 chấm thì có thể bỏ đi phần 1. Nếu xuất hiện 3,4 thì ta bở đi phần 2. Còn nếu xuất hiện 5,6 thì bỏ đi phần 3.
Hiện nay, môn hình học này có rất nhiều ứng dụng trong khoa học cũng như trong cuộc sống. Mời các bạn cùng trao đổi về thứ tuyệt đẹp xa xỉ này.
Sau đây là một số hình tuyệt đẹp. Có những hình rất gần gũi với cuộc sống. Mời các bạn thưởng thức
Cõ lẽ trong lịch sử phát triển của toán chưa có một môn hoc nào huyền bí và lãng mạn đến vậy… trong bài viết này tôi sẽ không nhắc nhiều nữa những ứng dụng to lớn của môn học này mà chỉ nêu lên một số câu hỏi nho nhỏ.
Có lẽ ai trong chúng ta cũng quen với số $\pi $, vậy $\pi $ là gì? ko phải ngẫu nhiên trong toán học nảy sinh ra số $\pi $ để rồi ngày nay ta dùng nó. Nói đến số $\pi $ người ta ko thể ko nhắc đến hình tròn, và hình tròn nó chứa đựng cho mình một tính chất rất lạ: độ dài đường tròn lớn hơn đường kính của nó một số lần ko fụ thuộc vào bản thân hình tròn đó? Tại sao các hình tròn lại giống nhau?…và còn nhiều nữa các câu hỏi cứ ám ảnh những ai đam mê hình học Ơclit…
Nhưng có một câu hỏi làm điên đảo nhiều người nhất đó là: “Liệu có tồn tại một đối tượng có chiều là $\pi $“. Nếu chúng ta hiểu khái niệm chiều một cách thô sơ nhất đó là số toạ độ ít nhất dùng để xác định vị trí duy nhất của một điểm trong không gian thì hiển nhiên số chiều fải là tự nhiên, và đáp án cho cái câu hỏi ngớ ngẩn trên đương nhiên là ko có. Nhưng có một khái niệm chiều suy rộng khác ( giả sử định nghĩa của nhàtoán học Đức Hausdorf) chiều được cho bởi công thức $n = \frac{{\ln N}}{{\ln k}}$ và khi đó cái câu hỏi ngớ ngấn trên ko còn tầm thường nữa: Có tồn tại các số tự nhiên $N,k$ sao cho $\pi = \frac{{\ln N}}{{\ln k}}$? vẫn là một câu hỏi hóc búa…
Một câu hỏi khác cũng không kém tính thời sự đó là "Có tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $\sin n = \frac{1}{\pi }$"
Đó là những điều thú vị cho những ai hướng đến thế giới Fractal kì diệu!
Mời các bạn ghé thăm trang sau để cảm nhận sự lung linh huyền ảo thật sự của Fractal…
http://www.allisonart.com/index.html
#4
Đã gửi 29-02-2016 - 22:40
NgoThai
-
- Thành viên mới
-
- 1 Bài viết
Lính mới
Có bác nào siêu nhân về cái này cứu em với
Em báo cáo Thực tập về Fractal mà ko biết gì 
Đề tài của em là Vẽ Douady rabbit bằng thuật toán Fractal .
Bác nào có kinh có thể cứu em ko.e xin hậu tạ ạ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
