Bài 1:
Cho $\large A=\{x_{1}, x_{2}, \ldots,x_{n} \}$ là một tập hợp của $\large n \geq 3$ số nguyên phân biệt. Gọi $\large m,M$ thứ tự là phần tử nhỏ nhất, lớn nhất của $\large A$. Giả sử rằng tồn tại một đa thức $\large p(x) $với các hệ số nguyên sao cho
$\large m <p(a)<M$ với mọi $\large a \in A$, và
$\large p(m)<p(a)$ với mọi $\large a \in A| \{m,M\}$ .
Chứng minh rằng $\large n \leq 5$ và khi đó tồn tại 2 số nguyên $\large b,c$ sao cho mỗi phần tử của $\large A$ là một nghiệm của phương trình $\large p(x)+x^2+bx+c=0$.
Bài 2:
Gọi $\large x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}$ là các số nguyên dương sao cho số $\large x_{k}^{k+1}-x_{k}$ không chia hết cho 17 với mọi $\large k=1, \ldots, 15$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $\large y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{15}$ thỏa mãn
(i) $\large y_{m}-y_{n}$ không chia hết cho 17 với $\large 1 \geq m<n \leq 15$, và
(ii) mỗi số $\large y_{i}$ là tích của một số phần tử của $\large (x_{i})$ .
Bài 3:
Gọi $\large B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$ là các tập con phân biệt của tập $\{1, 2, \ldots, n\}$ . Chứng minh rằng có một phần tử $\large x$ của $\large S$ sao cho các tập con $\large B_{1}|\{x\}, \ldots, B_{n}|\{x\} $cũng phân biệt.
Ngày thi thứ hai- 25/04/2001
Bài 4:
Gọi $\large \Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cố định $\large ABC$, và gọi \large M, N lần lượt là trung điểm của các cung \large BC, CA. Với 1 điểm bất kì $\large X$ trên cung $\large AB$, gọi $\large O_{1}, O_{2}$ thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp $\large \Delta XAC, \Delta XBC$. Đường tròn ngoại tiềp tam giác $\large XO_{1}O_{2}$ cắt $\large \Gamma$ tại $\large X, Q$. Chứng minh rằng các tam giác $\large QNO_{1}$ và $\large QMO_{2}$ đồng dạng, và tìm quỹ tích điểm $\large Q$ .
Bài 5:
Gọi $\large x, y$ là các số thực phân biệt và cho $\large f(n)$ xác định bởi
$\large f(n) = x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+ \ldots+y^{n-1}, n \in N $.
Chứng minh rằng nếu $\large f(m), f(m+1), f(m+2), f(m+3)$ là các số nguyên với số tự nhiên $\large m$ nào đó thì $\large f(n)$ nguyên với mọi $n \in N$ .
Bài 6:
Giả sử $\large n-1$ thành phần $\large B_{1},\ldots, B_{n-1}$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và thành phần thứ $\large n$ là $\large B_{n}$ được chèn vào để đảm bảo thứ tự. Hỏi có bao nhiêu cách chèn $\large B_{n}$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:24
