Chủ đề này có 3 trả lời

[Mr Bean]

Xác định $c$ để phương trình sau có các nghiệm đều là số thực
$$\left (\dfrac{1+ix}{1-ix} \right )^{2000}=c$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-11-2012 - 12:46

[lehoanghiep]

Đặt $k=\sqrt[2000]{c}$. Suy ra $\pm\frac{1+ix}{1-ix}=k$.
Ta xét phương trình $\frac{1+ix}{1-ix}=k$ (1) có các nghiệm đều là số thực.
$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \frac{\left ( 1+ix \right )^{2}}{1+x^{2}}=k\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+2ix+1}{1+x^{2}}=k$.
Đặt $k=a+bi$ với $a,b$ là các số thực.
Khi đó $-x^{2}+1+2xi=a\left ( x^{2}+1 \right )+b\left ( x^{2}+1 \right )i$ suy ra$\left\{\begin{matrix} -x^{2}+1=a\left ( x^{2}+1 \right ) & \\ 2x=b\left ( x^{2}+1 \right )& \end{matrix}\right.$.
Bài toán trở thành tìm điều kiện của $a,b$ để hệ có nghiệm thực.
Ta có $\left\{\begin{matrix}
x^{2}=\frac{1-a}{1+a}\geq 0 & \\
& \\
b=\frac{2x}{1+x^{2}}&
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
-1<a\leq 1 & \\
-1\leq b\leq 1&
\end{matrix}\right.$
Trường hợp $a+bi=-\frac{1+ix}{1-ix}$ suy ra $a\geq -1$.
Để ý thấy $a^{2}+b^{2}=1$ (đều thỏa mãn các điều kiện trên).
Do đó $c=\left ( a+bi \right )^{2000}$ với $a,b$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 21-11-2012 - 23:15

[robin997]

Xác định $c$ để phương trình sau có các nghiệm đều là số thực
$$\left (\frac{1+ix}{1-ix} \right )^{2000}=c(*)$$

Điều kiện cần:
-Xét $(*)$ với một nghiệm thực bất kì: $x_0=tan{\frac{a}{2}}$
Từ $(*)$, có:
$c=(\frac{1+ix_0}{1-ix_0})^{2000}\\=(\frac{1-x_0^2}{1+x_0^2}+i\frac{2x_0}{1+x_0^2})^{2000}=(cosa+i.sina)^{2000}=cos(2000a)+i.sin(2000a)$
Nên $\left|c \right|=1$
Điều kiện đủ:
-Với $c$ bất kì thỏa: $\left|c \right|=1$, từ $(*)$,suy ra:
$\left|\frac{1+ix}{1-ix} \right|=1\\\Rightarrow \frac{(1+ix)(1-i\bar{x})}{(1-ix)(1+i\bar{x})}=1\\\Rightarrow x\bar{x}+ix-i\bar{x}+1=x\bar{x}-ix+i\bar{x}+1\\\Rightarrow 2ix=2i\bar{x}\Rightarrow x=\bar{x}\Rightarrow x\in R$
Do đó, phương trình có các nghiệm đều thực với mọi $\left|c \right|=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 21-11-2012 - 19:48

[PSW]

Chấm điểm:
lehoanghiep: 10 điểm


robin997: 5 điểm