Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-08-2006 - 13:34

Một tập $H$ các điểm trong mặt phẳng gọi là tốt nếu mỗi bộ $3$ điểm của $H$ có một trục đối xứng. Chứng minh rằng:
a) Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.
b) Nếu một tập tốt $H$ có $2003$ phần tử thì tất cả chúng phải nằm trên một đường thẳng.


1728

#2 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 24-11-2013 - 10:34

Một tập $H$ các điểm trong mặt phẳng gọi là tốt nếu mỗi bộ $3$ điểm của $H$ có một trục đối xứng. Chứng minh rằng:
a) Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.

Giải câu a:

Ta xây dựng một tập tốt $H$ không có trục đối xứng như sau:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A}=36^o$. Dựng $D$ thuộc $BC$ sao cho  $\widehat{D}=36^o$. Ta có $H=\left \{ A,B,C,D \right \}$ là tập tốt mà không có trục đối xứng



#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 28-11-2013 - 02:23

Giải câu a:

Ta xây dựng một tập tốt $H$ không có trục đối xứng như sau:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A}=36^o$. Dựng $D$ thuộc $BC$ sao cho  $\widehat{D}=36^o$. Ta có $H=\left \{ A,B,C,D \right \}$ là tập tốt mà không có trục đối xứng

 

Góc $\widehat{D}$ là góc nào vậy bạn !!?



#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1919 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-12-2013 - 16:25

Vào lúc 26 Tháng 8 2006 - 13:34, QUANVU đã nói:

Một tập $H$ các điểm trong mặt phẳng gọi là tốt nếu mỗi bộ $3$ điểm của $H$ có một trục đối xứng. Chứng minh rằng:
a) Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.
b) Nếu một tập tốt $H$ có $2003$ phần tử thì tất cả chúng phải nằm trên một đường thẳng.

$a)$
Một ví dụ khác về tập tốt không có trục đối xứng :
Dựng $\Delta ABC$ cân tại $A$ với góc $\widehat{BAC}=108^o$.
Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ với đường trung trực của $AB$.Khi đó $H=\left \{ A,B,C,D \right \}$ là một tập tốt không có trục đối xứng.

$b)$
Xét tập tốt $(H)$ có $2003$ điểm phân biệt.Ta xét các TH sau :

Trường hợp $1)$ Giả sử trong $2003$ điểm đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng.
Số đoạn thẳng nối $2$ điểm bất kỳ thuộc $(H)$ là $C_{2003}^{2}$ đoạn thẳng.
Gọi $(T)$ là tập các đường trung trực của $C_{2003}^{2}$ đoạn thẳng đó
---> số phần tử của $(T)$ là $\left | T \right |\leqslant C_{2003}^{2}$ (vì có thể có TH 2 hay nhiều đoạn thẳng có chung đường trung trực).
Gọi $(D)$ là tập các tam giác có $3$ đỉnh thuộc $(H)$ (các tam giác thuộc $(D)$ đều là tam giác cân)
---> số phần tử của $(D)$ là $C_{2003}^{3}$.
Mỗi tam giác thuộc $(D)$ nhận 1 đường trung trực thuộc $(T)$ làm trục đối xứng
---> tồn tại $1$ đường trung trực thuộc $(T)$ là trục đối xứng của ít nhất $\frac{C_{2003}^{3}}{C_{2003}^{2}}= 667$ tam giác thuộc $(D)$.
Gọi đường trung trực đó là $t$ và gọi $(M)$ là tập các đỉnh các tam giác nhận $t$ là trục đối xứng.
Vì không có $3$ điểm nào thuộc $(M)$ thẳng hàng ---> có không quá $2$ điểm thuộc $(M)$ nằm trên $t$ ---> có ít nhất $334$ cặp điểm thuộc $(M)$ đối xứng với nhau qua $t$.Gọi các cặp điểm đó là $A_{1}-A_{2}$ ; $A_{3}-A_{4};...$ (các điểm $A_{k}$ với $k$ lẻ nằm cùng phía đối với $t$)
Nhận xét rằng nếu $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ thuộc cùng 1 tập tốt thì các tam giác $A_{1}A_{2}A_{3}$ và $A_{1}A_{3}A_{4}$ phải cân ($A_{3}$ và $A_{4}$ đối xứng nhau qua $t$) $\Leftrightarrow A_{3}$ phải trùng với $1$ trong $6$ điểm $B_{1},B_{2},...,B_{6}$ trong đó :
$B_{1},B_{2}$ là các điểm sao cho $\Delta A_{1}A_{2}B_{1}$ và $\Delta A_{1}A_{2}B_{2}$ vuông cân tại $A_{1}$
$B_{3},B_{4}$ là các điểm sao cho $\Delta A_{1}A_{2}B_{3}$ và $\Delta A_{1}A_{2}B_{4}$ cân tại $A_{1}$ với $\widehat{A_{2}A_{1}B_{3}}=\widehat{A_{2}A_{1}B_{4}}=108^o$
$B_{5},B_{6}$ là các điểm sao cho $\Delta A_{1}A_{2}B_{5}$ và $\Delta A_{1}A_{2}B_{6}$ cân tại $A_{2}$ với $\widehat{A_{1}A_{2}B_{5}}=\widehat{A_{1}A_{2}B_{6}}=36^o$
Tương tự thì các điểm $A_{5},A_{7},A_{9},...,A_{667}$ mỗi điểm cũng phải trùng với 1 trong 6 điểm $B_{1},B_{2},...,B_{6}$ nói trên.Điều này vô lý vì các điểm $A_{k}$ thuộc $(M)$ là tập con của $(H)$ gồm $2003$ điểm phân biệt.Vậy TH $1$ không thể xảy ra.

Trường hợp $2)$ :
Trong $2003$ điểm có ít nhất $3$ điểm $A_{1},A_{2},A_{3}$ thỏa mãn các ĐK :
+ $A_{1},A_{2},A_{3}$ thẳng hàng ($A_{3}$ nằm giữa) và $A_{3}A_{2}=\frac{A_{3}A_{1}}{2sin18^o}$
Gọi $u$ là đường thẳng đi qua $A_{1},A_{2},A_{3}$ ; Đặt $A_{3}A_{1}=r_{1};A_{3}A_{2}=r_{2}$ ;
$K_{1},K_{2}$ là giao của đường trung trực của $A_{1}A_{3}$ với đường tròn $(A_{3},r_{2})$ ;
$K_{3},K_{4}$ là giao của đường tròn $(A_{3},r_{1})$ với đường tròn $(A_{2},r_{2})$
Nhận xét rằng nếu điểm $K\in (H)$ và $K\notin u$ thì $\Delta KA_{1}A_{2},\Delta KA_{1}A_{3}$ và $\Delta KA_{2}A_{3}$ đều phải cân $\Rightarrow K$ phải trùng với $1$ trong $4$ điểm $K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}$ $\Rightarrow$ có không quá $4$ điểm thuộc $(H)$ mà không thuộc $u\Rightarrow$ có ít nhất $1996$ điểm khác thuộc $(H)$ nằm trên $u$ (không kể $A_{1},A_{2},A_{3}$).Ta gọi các điểm đó là $A_{4},A_{5},...,A_{1999}$
Gọi $P$ là điểm sao cho $PA_{2}$ và $A_{1}A_{3}$ có chung đường trung trực, $Q$ là điểm đối xứng với $A_{2}$ qua $A_{3}$, $R$ là điểm đối xứng với $P$ qua $A_{1}$($P,Q,R\in u$)
+ Nếu $K_{1}\in (H)$ :
Các tam giác $K_{1}A_{3}A_{k}$ ($4\leqslant k\leqslant 1999$) đều phải cân $\Rightarrow$ tất cả các điểm $A_{k}$ ($4\leqslant k\leqslant 1999$) phải trùng với $1$ trong $4$ điểm $A_{1},A_{2},P,Q$.Điều đó vô lý vì chúng là các điểm phân biệt.Vậy $K_{1}\notin (H)$
+ Nếu $K_{3}\in (H)$ :
Các tam giác $K_{3}A_{1}A_{k}$ ($4\leqslant k\leqslant 1999$) đều phải cân $\Rightarrow$ tất cả các điểm $A_{k}$ ($4\leqslant k\leqslant 1999$) phải trùng với $1$ trong $4$ điểm $A_{1},A_{2},P,R$.Điều đó cũng vô lý vì chúng là các điểm phân biệt.Vậy $K_{3}\notin (H)$

+ Hoàn toàn tương tự, ta cm được $K_{2}$ và $K_{4}$ không thuộc $(H)$

Vậy tất cả $2003$ điểm phải thuộc $u$

 

Trường hợp $3$ :

Trong $2003$ điểm có $3$ điểm $A_{1},A_{2},A_{3}$ thoả mãn các ĐK :

+ $A_{1},A_{2},A_{3}$ thẳng hàng (cùng thuộc $u$) ; $A_{3}$ nằm giữa ; $A_{3}A_{2}> A_{3}A_{1}$ và $A_{3}A_{2}\neq \frac{A_{3}A_{1}}{2sin18^o}$

Khi đó không tồn tại điểm $K$ nào không thuộc $u$ sao cho $K,A_{1},A_{2},A_{3}$ thuộc cùng một tập tốt ---> tất cả $2003$ điểm cùng thuộc $u$.

 

Trường hợp $4$ :

Trong $2003$ điểm có $3$ điểm $A_{1},A_{2},A_{3}$ thẳng hàng (cùng thuộc $u$) và $A_{3}$ là trung điểm của $A_{1}A_{2}$ :

Gọi $S_{1},S_{2}$ là các điểm sao cho $A_{1}S_{1}A_{2}S_{2}$ là hình vuông.

Nhận xét nếu $K\in (H)$ và $K\notin u$ thì $\Delta KA_{1}A_{2},\Delta KA_{1}A_{3},\Delta KA_{2}A_{3}$ đều cân $\Rightarrow K\equiv S_{1}$ hoặc $K\equiv S_{2}$ $\Rightarrow$ có không quá $2$ điểm thuộc $(H)$ không nằm trên $u$ $\Rightarrow$ có ít nhất $1998$ điểm khác thuộc $(H)$ nằm trên $u$ (không kể các điểm $A_{1},A_{2},A_{3}$).Gọi các điểm đó là $A_{4},A_{5},...,A_{2001}$

+ Nếu $S_{1}\in (H)$ :

Các tam giác $S_{1}A_{3}A_{k}$ ($4\leqslant k\leqslant 2001$) đều cân $\Rightarrow$ tất cả các điểm $A_{k}$ ($4\leqslant k\leqslant 2001$) đều trùng với 1 trong 2 điểm $A_{1}$ hoặc $A_{2}$.Điều đó vô lý vì chúng là các điểm phân biệt.Vậy $S_{1}\notin (H)$

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có $S_{2}\notin (H)$

---> $2003$ điểm cùng thuộc $u$

 

Như vậy trong mọi TH, tập tốt $(H)$ có $2003$ điểm thì chúng phải cùng thuộc $1$ đường thẳng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-12-2013 - 16:17

  • LNH yêu thích

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh