Final Round
[1].$I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$ và $A_1,B_1,C_1$ là các điểm bất kì trên các đoạn $AI,BI,CI$ tương ứng.Các trung trực của $AA_1,BB_1,CC_1$ giao nhau tại $A_2,B_2,C_2$.Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp của tam giác $A_2B_2C_2$ trùng với tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $I$ là trực tâm của tam giác $A_1B_1C_1$.
[2].Với mỗi số nguyên dương $n$ tổng $1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$ được viết dưới dạng $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ với $(P(n),Q(n))=1$.
a)Chứng minh rằng $P(67)$ không chia hết cho $3$.
b)Tìm tất cả $n$ để $P(n)$ chia hết cho $3$.
[3].Một nhóm có $n$ khách du lịch.Trong mỗi $3$ trong họ có $2$ người không quen nhau.Với mỗi cách chia họ thành hai nhóm ta có thể tìm $2$ khách du lịch trong cùng một nhóm và họ quen nhau.Chứng minh rằng một khách du lịch quen nhiều nhất $\dfrac{2}{5}n$ khách du lịch.
[4].Trong một từ hình thành bởi các chữ a,b chúng ta có thể biến đổi một vài khối:aba thành b và nguợc lại,bba thành a và ngược lại.Nếu lúc đầu chúng ta có từ aaa...ab ở đó chữ a xuất hiện $2003$ lần thì liệu chúng ta có thể được từ baaa...a,ở đó chữ a xuất hiện $2003$ lần bằng cách thực hiện hữu hạn lần biến đổi trên?
[5].$a,b,c,d$ là các số nguyên dương sao cho số các cặp $(x,y)\in(0;1)^2$ sao cho cả hai $ax+by$ và $cx+dy$ là các số nguyên bằng $2004$.Nếu $(a,c)=6$ hãy tính $(b,d)$.
[6].$p$ là số nguyên tố.Cho $k$ là số các số dư phân biệt khi đem chia $a_i+b_j$ cho $p$,ở đây $i=1,2,...,m$ và $j=1,2,...,n$.Chứng minh rằng:
a)Nếu $m+n]p$ thì $k=p$.
b)Nếu $m+n\leq p$ thì $k\geq m+n-1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 10:56
