[5].Cho $a,b,c>0$ và $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}=2$.Chứng minh rằng $ab+bc+ca\leq\dfrac{3}{2}$.
[6].Cho $1$.Chứng minh rằng $f$ có duy nhất điểm bất động.
[7].Từ mỗi đỉnh của tam giác $ABC$ vẽ $3$ đường thẳng đôi một song song,và từ mỗi đỉnh của tam giác này vẽ $3$ đường thẳng vuông góc với các đường thẳng đó.Có $3$ hình chữ nhật được hình thành,một trong các đường chéo của chúng là các cạnh của tam giác.Chúng ta vẽ các đường chéo khác và gọi $l_1,l_2,l_3$ là các đường thẳng chứa chúng.
a)Chứng minh rằng $l_1,l_2,l_3$ đồng quy tại một điểm $P$.
b)Tìm quỹ tích $P$ khi $3$ đường thẳng thay đổi.
[8].Cho tam giác không đều $ABC$ và $O$ là tâm của $(ABC)$.Giả sử $S[OAB]+S[OCA]=2S[OBC]$.Chứng minh rằng khoảng cách từ $O$ đến trục đẳng phương của $(ABC)$ và $(O_9)$ bằng $ABC$ chứng minh rằng $ABC$ đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $P$.Chứng minh rằng $H,O$ tương ứng là trực tâm và tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$,$AO$ cắt lại $(ABC)$ ở $A_1$,$A_1H$ cắt lại $(ABC)$ ở $A_2$,$A_3$ là giao điểm thứ hai của $AH$ và $(ABC)$.Chúng ta xác định $B_2,B_3,C_2,C_3$ tương tự.Chứng minh rằng $A_2A_3,B_2B_3,C_2C_3$ đồng quy tại một điểm trên $(O_9)$.
[12].Tìm tất cả các số nguyên dương $n,p,q$ sao cho $2^n+n^2=3^p7^q$.
[13].Cho $a$ là số nguyên dương và $m=a^2+a+1$.Tìm số các số nguyên $x$ thỏa $p$ bất khả quy trong $\mathbb{Q}[x]$ và $q,r\in\mathbb{Q}[x]$ thỏa mãn $p|q^2+qr+r^2$.Chứng minh rằng $p^2|q^2+qr+r^2$.
[15].$k$ là số nguyên.Xác định dãy $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$.
a)Chứng minh rằng $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho cả $a$ và $b$ đều khác $c$.Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố $p$ để tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $p|a^n+b^n-c^n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:06