NĂM HỌC 1990-1991
Ngày thi thứ nhất: 08-05-1991
(240 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Trong mặt phẳng xét tập hợp S gồm n điểm phân biệt (n>=3) thỏa mãn ba điều kiện sau:
1. Khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc S đều không vượt quá 1 đơn vị dài.
2. Mỗi điểm A thuộc S có đúng hai điểm "kề với nó", nghĩa là hai điểm thuộc S có cùng khỏang cách bằng 1 đến điểm A.
3. Với hai điểm tuỳ ý A, B thuộc S gọi A' và A" là hai điểm kề với A, gọi B' và B'' là hai điểm kề với B thì http://dientuvietnam...a_1,a_2,...,a_n với n lớn hơn 2 và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_1 khác http://dientuvietnam...mimetex.cgi?a_n, là dãy không giảm (nghĩa là http://dientuvietnam...i?k=1,2,...,n-1),
hoặc là dãy không tăng (nghĩa là http://dientuvietnam...i?k=1,2,...,n-1), và cho các số thực dương x,y thỏa http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(n)=1+a_1p_1+...+a_kp_k, trpng đó http://dientuvietnam..._1}...p_k^{a_k} là sự phân tích thành thừa số nguyên tố của n
(các số nguyên tố http://dientuvietnam...cgi?p_1,...,p_k đôi một khác nhau và http://dientuvietnam...cgi?a_1,...,a_n là các số nguyên dương). Với mỗi số tự nhiên s, đặt
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_s(n)=f(f(...(f(n))...)), trong đó ở vế phải có đúng s lần chữ f.
Chứng minh rằng với số tự nhiên a cho trước, có số tự nhiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s_0 để với mọi số thựn hiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s>s_0 thì tổng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_s(a)+f_{s-1}(a)
không phụ thuộc của s.
Bài 6: Cho tập hợp X gồm 2n số thực đôi một khác nhau (n>=3).
Xét một tâp hợp K gồm một số cặp số thực (x,y) với x,y thuôc X, x khác y, mà K thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Nếu cặp số (x,y) thuộc K thì cặp số (y,x) không thuộc K.
2. Mỗi số x thuộc X có mặt nhiều nhất trong 19 cặp số của K .
Chứng minh rằng ta có thể phân chia tập hợp X thành 5 tập hợp con không rỗng và đôi một không giao nhau http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_1,X_2,X_3,X_4,X_5
sao cho với mỗi i=1,2,3,4,5 thì số cặp số (x,y) thuộc K mà x và y cùng thuộc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_i, không vượt quá 3n.
(Đề thi các năm tiếp theo sẽ lần lượt đươc post lên)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 31-08-2006 - 14:00
