Bài toán mà THIEUQUANG gọi là "tổng quát" nói chung không đúng.
Chẳng nói đâu xa, các bạn có thể thấy : 3^3+4^3+5^3=6^3.
Do đó, chỉ trong trường hợp n=3 cho nhiều lũy thừa thôi cũng đã có phản ví dụ.
Vì vậy, đã có một số nhà toán học nào đó(mình không nhớ tên) đưa ra giả thuyết với phát biểu gần giống bạn THIEUQUANG nhưng bổ sung thêm rằng với k nhỏ hơn n thì "giả thuyêt" đã nêu là đúng, nghĩa là một lũy thừa bậc n không thể phân tích thành tổng của k lũy thừa bậc n(với k nhỏ hơn n)(xét trên các số nguyên dương).
Với trường hợp k=2: giả thuyết đó đúng(chính là trường hợp bài toán Fermat lớn cho n tổng quát).
Một số trường hợp riêng:
Còn với trường hợp n=4,k=3: nhà toán học Euler nổi tiếng đã nghiên cứu bài toán này cho đến cuối đời nhưng không có kết quả, cuối cùng ông phỏng đoán bài toán này không có nghiệm.Đồng thời ông cũng phỏng đoán trường hợp n=5,k=4 cũng không có nghiệm.
Vào khoảng những năm thập kỉ 20 của thế kỉ 20,sau khi chỉ ra sai sót của một số nhà toán học trước đó trong việc lầm tưởng đã chứng minh được trường hợp riêng n=4,k=3 (mà Euler phỏng đoán), một nhà toán học NAUY(mình không nhớ tên, chán quá!!!) đã chứng minh rằng trường hợp n=4,k=3 không có nghiệm với x1,x2,x3 nhỏ hơn 220000.
Một thời gian dài sau đó, các nhà nghiên cứu không đạt được bước tiến nào đáng kể cho trường hợp riêng này.Nhưng bất ngờ, một sự kiện gây chấn động lớn trong giới nghiên cứu giải tích Diophantine: trong một hội nghị chuyên ngành về giải tích Diophantine tổ chức ở Nhật Bản vào năm 1988,các nhà toán học Mĩ dự hội nghị đã công bố rằng phỏng đoán của Euler là sai(nghĩa là bài toán n=4,k=3 có nghiệm),nhưng điều gây ngạc nhiên hơn cả là có vô số nghiệm(họ có chỉ ra một nghiệm nhỏ nhất khá ấn tượng với x1,x2,x3 nhỏ hơn 1000000,nhưng mình không nhớ rõ lắm nên sẽ post lên sau).Kĩ thuật mà họ đã sử dụng là rất hiện đại nhưng chắc các bạn không hề thấy xa lạ đó là lí thuyết đường cong elliptic(công cụ đóng vai trò then chốt trong chứng minh của A.Wiles.Một lần nữa hình học đại số-số học đang ngày càng chứng tỏ tầm quan trọng trong toán học hiện đại mà nổi bật lên đó là đường cong elliptic(một trong bảy bài toán của thiên niên kỉ mới của viện Clay cũng nói về đường cong elliptic).
Với trường hợp n=5,k=4:năm 1980,Elkies người MĨ đã chứng minh rằng phỏng đoán của Euler lại một lần nữa cũng sai, bởi vì phương trình tương ứng không những có nghiệm mà(cũng khá ngạc nhiên) có vô số nghiệm!!!
Tuy vậy chính Elkies cũng phải thừa nhận rằng sai lầm của Euler là sai lầm "của một bậc vĩ nhân", đơn giản là vì :một phần phản ví dụ không hề tầm thường(nghiệm nhỏ nhất khá lớn),một phần khác(quan trọng hơn)đó là tuy trường hợp này có vô số nghiệm nhưng cũng không có "quá nhiều nghiệm"(hiểu theo một nghĩa nào đó).
Trong việc nghiên cứu bài toán tổng quát với n,k nguyên dương(k<n), không hẳn là quá vô vọng như HAM TOAN hay LANGTUCODON đã bi quan như vậy.
Vấn đề tổng quát dường như vẫn chưa thể nắm bắt hoàn toàn nhưng đã có những tiến bộ rất quan trọng trong việc tìm ra cũng như liên hệ bài toán này với rất nhiều vấn đề, kĩ thuật quan trọng khác trong toán học.
Mà cụ thể ở đây là một vấn đề đặc biệt trong giải tích phức nhiều biến,hàm hình học:
đó là lí thuyết các không gian phức hyperbolic
Lí thuyết này có tuổi đời tương đối trẻ:ra đời vào những năm 1970 do nhà toán học Kobayashi đề xuất.Bản thân lí thuyết này khá kĩ thuật và không hề đơn giản,theo mình biết NXB Đại học sư phạm HÀ NỘI có cho ra đời 2 cuốn nhập môn khá hay về lí thuyết này(một là cuốn của PGS.TSKH Đỗ Đức Thái, một của tác giả Minh Đức),còn cuốn tiếng Anh thì "kinh điển" là cuốn nhập môn lí thuyết không gian phức hyperbolic của Serge Lang.
Nói ngắn gọn như vậy thôi, chứ mục đích của bài này không đi quá xa chủ đề chính mà chủ yếu mình muốn phác họa sơ qua về ý tưởng liên hệ giữa lí thuyết các không gian hyperbolic với bài toán Fermat lớn và cả mở rộng của nó.
Ý tưởng này vô cùng phức tạp và do chính Serge Lang đã đề xuất, ông liên hệ với một thực tế rằng có những sự giống nhau kì lạ giữa lí thuyết xấp xỉ Diophantine(một chuyên ngành số học hiện đại) với những định lí về hàm phân hình của Nevalinna(nhà toán học nổi tiếng người Phần Lan mà tên của ông được gán cho giải thưởng uy tín của hiệp hội toán học thế giới cùng với giải Field và Gauss),có nghĩa là trong hình học phức cũng như giải tích phức có thể tìm thấy những mối liên hệ rất sâu sắc với số học nói chung và giải tích Diophantine nói riêng.
Từ đó ông đề xuất giả thuyết tổng quát nổi tiếng: giả thuyết ABC(mình không thể nói cụ thể hơn vì lí do kĩ thuật rất phức tạp),điều cơ bản mà bạn có thể hiểu là nếu chứng minh được giả thuyết vĩ đại này hiểu biết của nhân loại sẽ có những bước tiến vượt bậc trong toàn bộ toán học nói chung và lí thuyết số nói riêng,từ giả thuyết lớn này sẽ dễ dàng suy ra định lí cuối cùng của Fermat như một hệ quả khá đơn giản(như vậy sẽ có một chứng minh mới cho bài toán nổi tiếng này với đường lối, ý tưởng hoàn toàn khác A.Wiles nhưng quan trọng hơn sẽ tạo nên nhưng bước tiến mới mạnh hơn nhiều so với kết quả của A.Wiles).
Còn về vấn đề cho bài toán tổng quát cho n và k đã đề cập ở trên, nếu giả thuyết ABC được chứng minh sẽ có thể tìm thấy những ứng dụng thực tế cho bài toán này hay ít ra sẽ tạo nên một bước tiến đầy triển vọng cho quá trình nghiên cứu vấn đề khó khăn này.Có một tài liệu tham khảo tốt của Vojta về giả thuyết ABC và xấp xỉ Diophantine(cuốn:"xấp xỉ Diophantine,lí thuyết phân bố")
Mình xin được tạm dừng chủ đề này vì mình buồn ngủ quá rồi(2h30 sáng),nếu có dịp mình xin đề cập sâu hơn đến mối quan hệ đặc sắc giữa lí thuyết số với giả thuyết ABC và các ứng dụng.
Tiện thể từ lâu mình đã muốn làm quen với bạn quantum-cohomology,mình thấy bạn hay "lang thang" bên mục lí thuyết hình học và tô pô cơ mà sao cũng có lúc nhảy sang bên này vậy!!!
Bạn du học ở nước nào mà giỏi quá vậy,không phải khen quá lời đâu,vì mình đã vào mục hình học và tô pô nhiều lần rồi và đã đọc rất kĩ các bài trao đổi của bạn với các thành viên tích cực khác và thật sự "tâm phục khẩu phục" vốn kiến thức của bạn về lĩnh vực này.Quả thực mình rất muốn "kết nghĩa" với quantum-cohomology để được học hỏi bạn nhiều hơn nữa về tô pô,hình học lượng tử vì thú thực mình ở trong nước nên thiếu thốn tài liệu nghiên cứu lắm.Nếu quantum-cohomology có quay trở lại chuyên mục và đọc bài viết này thì xin bạn hồi âm sớm cho mình vào email sau nhé:
[email protected]
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
