a)Tìm một số $3$-phần.
b)Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số $3$-phần.
[2].Trên mặt phẳng cho $n>2$ điểm không cùng nằm trên một đường thẳng.Với một điểm $A$ bất kì trong mặt phẳng ta định nghĩa $S(A)$ là tổng các khoảng cách từ $A$ đến $n$ điểm.Một điểm $A$ được gọi là tốt nếu với mỗi điểm $B$ trong mặt phẳng ta có $n$ đội tham gia,mỗi hai đội sẽ gặp nhau một lần.Giả sử rằng với mỗi hai đội tuyển $A,B$ có đúng $t$ đội bị đánh bại bởi cả $A$ và $B$.Chứng minh rằng $n=4t+3$.
[4].Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=-1$.Chứng minh rằng $ABC$ có góc ở đỉnh $A$ bé nhất.$D$ là điểm trên cung nhỏ $BC$ của $(ABC)$.Đường trung trực của $AB,AC$ cắt $AD$ tại $M,N$ tương ứng.Đường thẳng $BM$ cắt đường thẳng $CN$ tại $T$.Chứng minh rằng $0$.Ở mỗi bước robot di chuyển một đơn vị theo hướng Bắc,Nam,Tây,Đông;đồng thời lúc đó A thay bởi A+1,A bởi A-1,B bởi B-A,B bởi B+A tương ứng.Giả sử robot bắt đầu hành trình của nó tại đỉnh V của bàn cờ và trở lại V sau một thời gian,đoạn đường nó đi là không tự cắt.Chứng minh rằng lúc đó |B| bằng diện tích của miền giới hạn bởi đường đi của robot.
[7].$P,Q$ là các điểm trên các cạnh $BC,DC$ tương ứng của tứ giác lồi $ABCD$ sao cho $S[ABP]=S[ADQ]$ khi và chỉ khi $AC$ vuông góc với đường thẳng đi qua các trực tâm của hai tam giác này.
[8].$f_1,f_2,...,f_n\in\mathbb{Z}[x]$.Chứng minh rằng tồn tại đa thức khả quy(trong $\mathbb{Z}[x]$)$g$ với hệ số nguyên sao cho $f_i+g$ là bất khả quy với mỗi $i=1,2,...,n$.
[9].$X$ là tập có $n$ phần tử và $a_{n,k}(b_{n,k})$ là số lớn nhất các hoán vị của $X$ sao cho mỗi hai trong chúng giống nhau ở ít nhất(nhiều nhất) $k$ vị trí.
a)Chứng minh rằng $p$,tính $a_{p,2}$.
[10].Liệu có tồn tại tập vô hạn $n$-giác $P$ được đánh số bởi các số $1,2,...,n$.Với một dãy $S=(s_1,s_2,...),s_i\in\{1,2,...,n\}$,đa giác $P$ di chuyển xung quanh mặt phẳng như sau:Tại bước thứ $i$,nó di chuyển sang vị trí đối xứng với nó qua cạnh đánh số $s_i$.
a)Chứng minh rằng tồn tại dãy vô hạn $S$ sao cho dùng dãy này ta có thể phủ mỗi điểm trong mặt phẳng ít nhất một lần.
b)Chứng minh rằng một dãy như vậy không thể tuần hoàn.
c)Nếu $P$ là đa giác đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1$ và $D$ là một đường tròn bất kì bán kính $1,0001$ trong mặt phẳng.Liệu có tồn tại dãy hữu hạn $S$ sao cho dùng $S$ ta có thể đặt $P$ vào trong $D$?
[13].$ABCD$ là một tứ giác nội tiếp.Các đường thẳng vuông góc với $AD,BC$ tại $A,C$ tương ứng cắt nhau tại $M$.Các đường thẳng vuông góc với $AD,BC$ tại $D,B$ tương ứng cắt nhau tại $N$.Nếu đường thẳng $AD$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$.Chứng minh rằng $m$ từ cấm.Giả sử tồn tại dãy vô hạn các chữ của S sao cho nó không nhận từ cấm nào như một khối.Chứng minh rằng tồn tại dãy vô hạn hai đầu các chữ của S sao cho nó không nhận từ cấm nào như một khối.
[15].Cho A là tập hữu hạn các số nguyên tố và a là một số nguyên dương.Chứng minh rằng chỉ có hữu hạn số nguyên dương m sao cho tất cả ước nguyên tố của $a^m-1$ nằm trong A.
[16].Giả sử $M,M'$ là các điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác $ABC$.$P,Q,R$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC,CA,AB$ tương ứng.$P',Q',R'$ là hình chiếu vuông góc của $M'$ trên $BC,CA,AB$ tương ứng.Các đường thẳng $QR$ và $Q'R'$,$RP$ và $R'P'$,$PQ$ và $P'Q'$ cắt nhau tại $E,F,G$ tương ứng.Chứng minh rằng $EA,FB,GC$ đôi một song song.
[17].$p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$.Chứng minh rằng $x^2-py^2=-1$ có nghiệm nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:07
