Chủ đề này có 3 trả lời

[QUANVU]

Chứng minh rằng biệt thức(discriminant)http://dientuvietnam...mimetex.cgi?d_K của một trường số đại số http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?K luôn luôn đồng dư với http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?0 hoặc http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?1 theo modulo http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?4.

[QUANVU]

Vâng x_1,x_2,...,x_n là cơ sở nguyên của http://dientuvietnam...tex.cgi?O_K(bao đóng nguyên của Z trong K)

[noproof]

Đây là Stickelberger's theorem, chứng minh có thể xem trong J. Milne "Algebraic number theory", Prop. 2. 39, (b). Noproof sẽ trình bày lại chứng minh của định lý này theo quyển của J. Milne, có thay đổi 1 chút về ký hiệu và có bổ sung chi tiết hơn .

Giả sủ [K:Q]=m, khi đó vành các số nguyên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?O_K là một Z-module tự do hạng m. Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1,\ldots,x_n là một cở sở của http://dientuvietnam...imetex.cgi?O_K. Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma_1,...,\sigma_n là (tất cả) các đồng cấu trường phân biệt tử K vào một mở rộng Galois http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\to{1,...,n} là một hoán vị chẵn của {1,...,n}. Tương tự, gọi -N là tổng các số hạng tương ứng với các phép thế lẻ.
Ta có http://dientuvietnam...etex.cgi?D=(P-N)^2=(P+N)^2-4PN.
Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau là một phần tử của nhóm Galois của L, khi đó các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau\sigma_i sẽ là tất cả các đồng cấu trường phân biệt tử K vào L. Do vậy các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau\sigma_i là một hoán vị của các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma_i. Và ta có thể viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tau\sigma_i=\sigma_{t(i)}, với t:{1,...n}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\to{1,...n} là một hoán vị của {1,...,n}.
Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?st^{-1}, khi s chạy trong tập các phép thế chẵn, cũng là phép thế chắn. Do vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?st^{-1},khi s chạy trong tập các phép thế chẵn, là phép thế lẻ. Do vậy và .
Tóm lại ta luôn có . Như vậy P+N, PN là bất biến dưới tác động của nhóm Galois của L, do đó P+N, PN là số hữu tỷ. Mặt khác, vì chúng là nguyên trên Z nên chúng thực sự là các số nguyên (thuộc Z). Do vậy D đồng dư với (P+N)^2 và đồng dư với 0 hoặc 1 modulo 4.

[QUANVU]

Gọi P là tổng các số hạng trong khai triển của det() tương ứng với các phép thế chẵn, tức là P là tổng các phẩn tử dạng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\to{1,...,n} là một hoán vị chẵn của {1,...,n}. Tương tự, gọi -N là tổng các số hạng tương ứng với các phép thế lẻ.
Ta có http://dientuvietnam...etex.cgi?D=(P-N)^2=(P+N)^2-4PN.

Cảm ơn noproof rất nhiều Thực ra mình cũng nhận được lời gợi ý như trên,nhưng mình không nghĩ là có thể c.m N và P nguyên theo cách đó,sau khi đọc rồi thì mình thấy nó rất tự nhiên,không hiểu sao lại không nghĩ đến nó.Lời giải tương đối dễ hiểu,ngoại trừ một số chỗ về các mở rộng bạn dùng không giống cái mà tôi hay đọc(về từ ngữ thôi).

À mà tìm giúp tớ cuốn của Lang chưa đấy?