Bài 1. Cho bốn số nguyên dương $a,b,c,d$ thỏa mãn: $a>\sqrt{2}b,a>\sqrt{3}c,ad=bc$. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. $a^2+6d^2>2b^2+3c^2$.
2. $f(x)=2009x^5-x^4-x^3-x^2-2006x+1$. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, các số $f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\ldots$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(O')$ tiếp xúc ngoài với $(O)$, tiếp xúc $BC$ và nằm trong nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa $A$. Đường thẳng $l_A$ qua $A$ tiếp xúc $(O')$ tại $T$. Đường thẳng $l_B$ qua $B$ vuông góc với $BT$. Đường thẳng $l_C$ qua $C$ vuông góc với $CT$. Chứng minh rằng:
a) $l_A,l_B,l_C$ đồng quy.
Bài 4. Có $36$ thí sinh tham dự cuộc thi "Hoa hậu thân thiện". BTC sắp xếp cho các thí sinh ở $36$ phòng hình tam giác đều, mỗi phòng một người (có dạng một tam giác đều lớn chia thành $36$ tam giác đều nhỏ bằng nhau). Hai phòng gọi là cạnh nhau nếu chúng có cạnh chung. Biết từ mỗi phòng, người ta chỉ có thể đi sang phòng cạnh nó. Thí sinh được giải "Thân Thiện" nếu người đó đi thăm được nhiều phòng nhất. Biết mỗi thí sinh xuất phát từ một phòng bất kì và được phép đi qua phòng chính mình. Hỏi số phòng tối đa thí sinh được giải "Thân Thiện" đi qua là bao nhiêu nếu mỗi phòng chỉ được đi qua đúng một lần?
Ngày thứ hai
Bài 1. Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức:
$\displaystyle\sum_{sym}\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}+1>2\sum_{sym}\dfrac{a^2}{a^2+(b+c)^2}.$
Bài 2.. Cho tập hợp $X=\{2,3,4,\ldots,2006\}$. Một tập con $M$ của $X$ được gọi là có tính chất $T$ nếu $M$ có đúng $1003$ phần tử và với 2 phần tử bất kì $u,v$ thuộc $M$ $u+v$ không thuộc $M$.
a) Hãy chỉ ra một tập con $M$ của $X$ có tính chất $T$.
b) Chứng minh rằng tồn tại đúng một tập con $M$ của $X$ có tính chất $T$ sao cho phần thử nhỏ nhất của $M$ không vượt quá $1001$.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ và các điểm $A_1,b_1,C_1$ tương ứng thuộc các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $A_2,B_2,C_2$ theo thứ tự là điểm đối xứng của $A,B,C$ qua trung điểm của $B_1C_1,C_1A_1,A_1B_1$. Chứng minh rằng:
a) $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi $AA_2,BB_2.CC_2$ đồng quy.
b) $S(A_1B_1C_1)=S(A_2B_2C_2)$. (Kí hiệu $S(MNP)$ là diện tích tam giác $MNP$).
Bài 4. Tìm tất cả các hàm số $f:R\rightarrow R$ sao cho:
$f^2(x)+2yf(x)+f(y)=f(y+f(x)),\forall x,y \in R.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 23-05-2009 - 15:47
