2 replies to this topic

[ANNIE ROSE]

Giải phương trình:

$$2\sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $8\sin{2x}\cos^2{2x} \geq -1$

 

Phương trình ban đầu tương đương:

$\sqrt{2}(\sin{3x} + \cos{3x}) = \sqrt{1 + 8\sin{2x}\cos^2{2x}}$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin{\left (3x + \dfrac{\pi}{4} \right )} \geq 0\\2(1 + \sin{6x}) = 1 + 4\sin{4x}\cos{2x}\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin{\left (3x + \dfrac{\pi}{4} \right )} \geq 0\\2(1 + \sin{6x}) = 1 + 2(\sin{6x} + \sin{2x})\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin{\left (3x + \dfrac{\pi}{4}\right )} \geq 0\\\sin{2x} = \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{12} + k2\pi\\x = \dfrac{17\pi}{12} + k2\pi\end{matrix}\right. \, (k \in Z)$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 18-08-2013 - 20:40.

[diepviennhi]

Giải phương trình:

$$2\sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$$

Điều kiện xác định: $\large 1+8sin2x.cos^{2}2x\geq 0$

Điều kiện phương trình có ngiệm: $\large sin(3x+ \frac{\pi}{4})\geq0$

Phương trình đã cho $\large \Leftrightarrow \sqrt{2}.(sin3x+cos3x)=\sqrt{1+4sin4x.cos2x}\Leftrightarrow \sqrt{2}.(sin3x+cos3x)=\sqrt{1+2sin6x+2sin2x}\Leftrightarrow 2+2sin6x=1+2sin6x+2sin2x\Leftrightarrow 1=2sin2x\Leftrightarrow sin2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+k\pi\vee \frac{5\pi}{12}+k\pi; k\in Z$

Mà từ Điều kiện thế nghiệm vào ta được $\large x=\frac{\pi}{12}+k2\pi\vee \frac{5\pi}{12}+(2m+1)\pi; k,m\in Z;$

Vậy tập nghiệm là $\large S=\begin{Bmatrix} \frac{\pi}{12}+k2\pi\vee \frac{5\pi}{12}+(2m+1)\pi; k,m\in Z; \end{Bmatrix}$