Cho tam giác ABC, vẻ các trung tuyến AM,BN,CP và các phân giác AD,BE,CF. Trên BC,CA,AB lần lượt lấy X,Y,Z sao cho AX,BY,CZ là các đường đối trung của tam giác ABC. Chứng minh rằng: AX,BY,CZ đồng qui.
Đường đối trung của tam giác
Bắt đầu bởi zaizai, 01-10-2006 - 00:19
#1
Đã gửi 01-10-2006 - 00:19
#2
Đã gửi 01-10-2006 - 00:32
Bài này mình có 2 cách, 1 cách dùng phép chiếu vector, nhưng mình thích cách thứ 2 hơn.
Cách 2:
Gọi AD, AM là p/g, trung tuyến của tam giác ABC
Có $\text{\large\dfrac{S_{ABX}}{S_{ACM}}=\dfrac{AB.AX}{AC.AM}}$
lại có $\text{\large\dfrac{S_{ABX}}{S_{ACM}}=\dfrac{BX}{CM}}$
$\text{\large \rightarrow \dfrac{AB.AX}{AC.AM}=\dfrac{BX}{CM}}$
Chứng minh tương tự ta có $\text{\large \dfrac{BM}{CX}=\dfrac{AB.AM}{AC.AX}}$
Vậy $\text{\large \dfrac{BX}{CX}=\dfrac{AB^2}{AC^2}}$
chứng minh tương tự với Y, Z rồi dùng Ceva là xong
Cách 2:
Gọi AD, AM là p/g, trung tuyến của tam giác ABC
Có $\text{\large\dfrac{S_{ABX}}{S_{ACM}}=\dfrac{AB.AX}{AC.AM}}$
lại có $\text{\large\dfrac{S_{ABX}}{S_{ACM}}=\dfrac{BX}{CM}}$
$\text{\large \rightarrow \dfrac{AB.AX}{AC.AM}=\dfrac{BX}{CM}}$
Chứng minh tương tự ta có $\text{\large \dfrac{BM}{CX}=\dfrac{AB.AM}{AC.AX}}$
Vậy $\text{\large \dfrac{BX}{CX}=\dfrac{AB^2}{AC^2}}$
chứng minh tương tự với Y, Z rồi dùng Ceva là xong
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 06-05-2009 - 09:18
#3
Đã gửi 01-10-2006 - 17:35
sao các bạn không dùng ceva dạng sin cho lời giải ngắn gọn nhỉ,lại có thể tổng quát được bài toán nữa
p/s:zaizai ơi tình hình bão ở Quảng Trị thế nào rồi?
p/s:zaizai ơi tình hình bão ở Quảng Trị thế nào rồi?
Trời đã cho ta một trí thông minh tuyệt vời...
Mới 3 tuổi đã biết cười,biết nói...
Lên lớp 5 đã thuộc làu bảng chữ cái,chữ số...
Vừa vào cấp 3 đã làm cả trường chuyên kinh ngạc khi đã thành thạo tất cả các phép toán cộng,trừ,nhân,chia...
Tương lai đang chờ đón ta...
Nguyễn Duy Cương,toánTK17 chuyên nguyễn tất thành,yên bái
#4
Đã gửi 01-10-2006 - 18:19
Ceva dạng sin là gì nhỉ
Tổng quát thế nào
@ titikid91yb: zaizai ko lo chết đâu, zaizai chỉ lo bạn hng bị làm sao thôi mà cả bạn nhoc_con_buon nữa, mấy hôm nay toàn ngồi lo bạn N
Tổng quát thế nào
@ titikid91yb: zaizai ko lo chết đâu, zaizai chỉ lo bạn hng bị làm sao thôi mà cả bạn nhoc_con_buon nữa, mấy hôm nay toàn ngồi lo bạn N
#5
Đã gửi 02-10-2006 - 09:50
Xeva sin thì nó như thế này cu Hiếu ạ
Trong tam giác ABC các điểm M,N,P thuộc các cạnh BC,CA,AB. Khi đó AM,BN,CP đồng qui khi và chỉ khi :
$\dfrac{sin \widehat{MAB} }{sin \widehat{MAC}} . \dfrac{sin \widehat{NBC}}{sin \widehat{NBA}} . \dfrac{sin \widehat{PCA}}{sin \widehat{PCB}} =1$
Nó sẽ được mở rộng hơn nữa nếu ta có khái niệm góc định hướng giữa 2 tia.
Còn về bài trên thì đúng là dùng phép chiếu vectơ nhưng mà mình ko hiểu rõ lắm về cái phương pháp nì đọc mãi mà cứ thấy mơ hồ Do chưa tìm hiểu kĩ mà cũng ko muốn tìm hiểu Chán thế đấy
Cách của Hiếu hay đấy nhưng còn cách nào khác ko nhỉ
PS: mình đã vượt qua bão lũ một cách anh hùng
PS hieuchuoi@: giám nói chuyện của ta và Khôi ra hả Cẩn thận dính chưởng đấy cu ạ
Trong tam giác ABC các điểm M,N,P thuộc các cạnh BC,CA,AB. Khi đó AM,BN,CP đồng qui khi và chỉ khi :
$\dfrac{sin \widehat{MAB} }{sin \widehat{MAC}} . \dfrac{sin \widehat{NBC}}{sin \widehat{NBA}} . \dfrac{sin \widehat{PCA}}{sin \widehat{PCB}} =1$
Nó sẽ được mở rộng hơn nữa nếu ta có khái niệm góc định hướng giữa 2 tia.
Còn về bài trên thì đúng là dùng phép chiếu vectơ nhưng mà mình ko hiểu rõ lắm về cái phương pháp nì đọc mãi mà cứ thấy mơ hồ Do chưa tìm hiểu kĩ mà cũng ko muốn tìm hiểu Chán thế đấy
Cách của Hiếu hay đấy nhưng còn cách nào khác ko nhỉ
PS: mình đã vượt qua bão lũ một cách anh hùng
PS hieuchuoi@: giám nói chuyện của ta và Khôi ra hả Cẩn thận dính chưởng đấy cu ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 06-05-2009 - 09:19
#6
Đã gửi 07-05-2009 - 18:33
Cho tam giác ABC, vẻ các trung tuyến AM,BN,CP và các phân giác AD,BE,CF. Trên BC,CA,AB lần lượt lấy X,Y,Z sao cho AX,BY,CZ là các đường đối trung của tam giác ABC. Chứng minh rằng: AX,BY,CZ đồng qui.
Đây là bài toán quen thuộc.
Trứớc tiên ta có nhận xét:$AX,BY,CZ$ sẽ đi qua đối cực cuả $BC,CA,AB$ wrt $(ABC)$.
Như vậy, nếu gọi $A_0,B_0,C_0$ là giao điểm các tiếp tuyến tại $A,B,C$ cuả $(O)$ cắt nhay từng đôi một, $A_0$ đối diện với $A$.... Khi đó $AA_0,BB_0,CC_0$ đồng quy tại điểm Gergone wrt $\triangle A_0B_0C_0$.
#7
Đã gửi 11-05-2009 - 11:13
hì, bài này cổ wá, nhưng cách cm dùng kực hay đấy nhể
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh