Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

a pde problem


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 171 trả lời

#1 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 01-10-2006 - 08:02

Let U be a bounded open subset in R^n. Consider
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^1
function.


1. Show that there is a unique weak solution to the above problem
provided that http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f is globally Lipschitz with sufficiently small Lipschitz constant L.

2. Is the above result still true provided that the Lipschitz
constant http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Lis not sufficiently small?

3. More generally, what necessary and sufficient conditions on http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f
for the existence and uniqueness of the weak solution to the above
problem?
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#2 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 01-10-2006 - 08:03

Hint of the 1st question: take a $u_0$ in http://dientuvietnam...metex.cgi?H_0^1 (fixed but arbitrary), use the
powerful Lax-Milgram's theorem to obtain $u_1$ in $H_0^1$ of the
problem . Induction gives you a {\em
convergent} sequence . The limit of the
sequence is the unique solution of the problem in the question. The
sufficient smallness plays a crucial role here.
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#3 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 01-10-2006 - 08:07

Definition of weak solution: u in http://dientuvietnam...metex.cgi?H_0^1 is called a weak solution
of the above problem provided that
for any
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#4 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 01-10-2006 - 08:22

4. Discuss some applications of the above problem (or similar ones) in your field of
study?
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#5 Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Em yêu

Đã gửi 01-10-2006 - 10:53

Let X be a G-hômgeneous Riemannian Manifolds, G is a Lie Group.
Problem: understand the property of the Laplace operator on X, the spectral decomposition with respect to the Lie Group G.
Relation: apply the spectral decomposition to the group SO(3), and the Hilbert spaces are Sobolev spaces H, infinitisimally we tends very close to the above problems.

Tất cả các bài viết của KK khả năng nói sai và nói bậy là 100%.
PhDvn.org

#6 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 07-10-2006 - 13:34

5. Co' cach na`o tinh tat ca? eigenvalues and eigenfunctions in H_0^1 of Toan tu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\Delta on U = [0,1]x[0,1]. (dang lam ma chua ra).
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#7 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 08-10-2006 - 17:45

5. Co' cach na`o tinh tat ca? eigenvalues and eigenfunctions in H_0^1 of Toan tu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\Delta on U = [0,1]x[0,1]. (dang lam ma chua ra).

bài này dùng phương pháp tách biến là ra mà :O?
<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#8 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 08-10-2006 - 17:50

Let U be a bounded open subset in R^n. Consider


provided that is a $C^1$
function.


1. Show that there is a unique weak solution to the above problem
provided that $f$ is globally Lipschitz with sufficiently small Lipschitz constant L.

2. Is the above result still true provided that the Lipschitz
constant $L$ is not sufficiently small?

3. More generally, what necessary and sufficient conditions on $f$
for the existence and uniqueness of the weak solution to the above
problem?

với câu hỏi 1, có thể thao khảo cách dùng nguyên lý ánh xạ co Banach, cũng có thể dùng định lý điểm bất động Schauder (chưa công bố đc vì còn đang chờ đăng ở NoDEA..)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 12-10-2006 - 13:29

<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#9 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 08-10-2006 - 23:32

cam on. minh chi hoi choi truong hop phuong trinh ma ba'c tung len cai he. Cung vui. con cau 3 ba'c biet dieu kien can va du khong?

Cai he trong bai ba'c dua ngo' thay don gian qua. Khong biet may cai he nay dung de lam gi va thien ha van con nghien cuu may cai nay ta? Ba'c noi qua chut duoc khong? Noi luon cai kho khan cua kieu he nay la gi? Voi lai dung nguyen ly anh xa co lam rang buoc nhieu dieu kien nhi! Tung ra may dieu kien nhu trong dly 4.1 khong biet co khi nao xay ra khong hen? Minh biet mot cach khac nhu*ng dang nghi apply vao cai cua bac co duoc khong?

Co khi nao ba'c nghi chung minh luon cho he ma coupled xay ra ca o trong diffusion khong? Thuc ra minh biet rang thien ha chi da'm lam cho he semilinear la` vi` khong chung minh duoc toan tu nghiem compact neu nghien cuu may he quasilinear chang han. Minh co' du cong cu de vuot qua cai kho' nay.

5. Tach bien la ra lien nhung chung minh han complete thi can chut effort.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 12-10-2006 - 13:29

Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#10 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 09-10-2006 - 00:47

Xin lỗi. vậy bỏ qua bài trước tui viết đi.

bác nói qua chút hệ đó khó khăn nằm ở đâu? và hệ này thiện hạ nghiên cứu đến đâu rồi?

Những điều kiện trong mấy kết quả của bác có khi nào xảy ra không? tại tui đọc thấy điều kiện nhiều quá (trong định lý 4.1). Sao bác không bàn chút về nó trong bài báo đó mà.
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#11 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 09-10-2006 - 00:56

câu hỏi thứ 3 có vẻ không được thích hợp cho lắm. Đối với từng phương pháp cụ thể thì các điều kiện đặt ra là khác nhau. Ví dụ

1. Đối với phương pháp biến phân, sự tồn tại nghiệm được quy về sự tồn tại của điểm cực tiểu của phiếm hàm

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f kiểu như các điều kiện tăng trưởng, chẳng qua là thỏa mãn định lý qua núi mà thôi.

2. Đối với phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, điều kiện thường đc đặt ra là dưới tuyến tính, đại loại là

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0)=0



http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-Laplacian, cách tấn công cũng ko có gì khác lắm, chẳng hạn

1. Có thể sử dụng phương pháp biến phân, biến phân đối ngẫu

2. Có thể sử dụng phương pháp lặp

3. Vẫn dùng được phương pháp toán tử đơn điệu

4. Vẫn sử dụng đc các nguyên lý cực đại mạnh và yếu, nguyên lý so sánh mạnh và yếu

Hiện tôi đang quan tâm đến bài toán biên Dirichlet tựa tuyến tính cho toán tử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p(x)-Laplacian trên miền bị chặn. Công trình này đã đc gửi đăng cho tạp chí Nonlinear Anal. T.M.A và chắc sẽ đăng thôi.

Các khó nhất trong PDEs, loại hệ này, thường là sự hạn chế của miền. Đối với miền bị chặn, ta đã có rất nhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng như tính duy nhất do có tính compắc của các anh xạ nhúng giữa các không gian Sobolev, khi ra miền vô hạn, các tính chất này không còn đúng, thường ng ta phải xấp xỉ nghiệm.

Mệt, đôi dòng lan man vậy đã, mong đc trao đổi tiếp..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 09-10-2006 - 11:47

<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#12 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 09-10-2006 - 02:15

nghe qua thấy bác bookworm_vn làm ăn được nhiều kết quả quá. chúc mừng.

Mình cũng biết rất sơ sơ mấy phương pháp bác bookworm_vn nói. Mình sẽ ngó lại kĩ hơn. Nhưng làm chọ hệ, theo mình biết, thì nguyên lý cực đại mạnh yếu gì đó (có phải là Maximum principles không?) làm gì còn nữa? vì vậy chuyện chứng minh compact cho toán tử nghiệm cũng không có ngay cả trường hợp miền bị chặn. Hệ bác bookworm_vn quan tâm compact ngay là do toán tử Laplace. nhưng nếu trong diffusions (k biết dịch) có cả u và v thì chết liền. đúng không?

Nói vậy là bài toán vẫn còn mở cho hệ như bookworm_vn xét khi thằng f và g xấu hơn chút.

Mình biết một cách có thể vui đó là: giả sử thằng F là toán tử nghiệm (giống công thức 2.1 trong bài bookworm_vn). Chọn quả cầu bự một chút để hệ F(\lambda U) không bằng U trên biên. \lambda trong [0,1]. Cái này cần vài điều kiện của f và g. sau đó xét homotopy F(\lambda U) để có index của F là 1. suy ra hệ đó có ít nhất một nghiệm.

Nếu (0,0) cũng là một nghiệm thì ngồi tính index của F tại không. nếu index này khác 1 thì suy ra có nghiệm không tầm thường. Muốn có nghiệm dương hẳn thì tính thêm mấy cái index trên biên và ép cho tổng nhưng index đừng bắng 1.

bookworm_vn nói sơ sơ ý toán của bài về p(x)-laplace được k?

bookworm_vn viet "Thường các bài PDEs mình làm là định tính nên không nhất thiết các đk đưa ra phải đẹp và đơn giản, làm sao đừng có vô lý là ổn rồi."

quan điểm của mình thì ngược lại: kết quả phải đẹp va đk đơn giản. Mấy đk & kq xấu nếu có thì để trong remark. hehe. nếu làm để có kq thì mình sẽ chán lắm. Mỗi người một quan điểm thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuongrong: 09-10-2006 - 02:47

Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#13 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 09-10-2006 - 11:55

bình thêm 1 chút, ở bài báo Ngo ở trên, đó chỉ là 1 phần kết quả của cái luận văn tốt nghiệp đại học mà thôi, làm trong vòng có mấy tuần mà nên có thể kết quả chưa làm hài lòng mọi người :D
<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#14 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 10-10-2006 - 00:05

một câu hỏi ngớ ngẩn đó là tại sao bên reactions đã có f(u,v) và g(u,v) rồi còn có cả u,v. sao không cho hai thằng này vào trong f và g luôn? Hay là tách ra để thấy rõ gì gì đấy? có phải f và g là hai hàm nói lên sự perturbations (k biệt dịch)?

Chuyện maximum principles áp dụng cho hệ đường chéo kiểu này thì có gì lạ đâu. có khác gì mấy so với phường trình. thiên hạ làm đầy mà. cho hệ tum lum (không đường chéo) mói khó và rất ít kết quả, chưa kể là thiên hạ vô vọng vì nhiều phản ví dụ cho hệ hơn 3 pt như của: De Giorgi, Giusti & Miranda,...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 12-10-2006 - 13:05

Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#15 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 10-10-2006 - 00:10

cái ý hệ đường chéo của bác là như thế nào? ví dụ xem?
<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#16 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 10-10-2006 - 00:26

mình nói đường chéo tức là: ma trận diffusion là ma trận chéo. Giống bài của bác đó. Trong chứng minh Maximum principles mình chưa thấy sự khó khăn khi giải quyết những thằng không đạo hàm hoặc ngay cả những thằng đạo hàm bậc nhất. chắc tại k để ý kĩ lắm. Nhưng ý tôi không nói kết quả bác bookworm_vn là tầm thường nhé. Mỗi bài có lẽ mỗi khó khăn riêng. Với lại bác làm nhiều vậy thì ghê quá rùi. tui đây đang lẹt đẹt năm nhất của cái phd thôi.

Tôi chỉ thắc mắc là: hoặc bài của bác làm vì trong ứng dụng nó thế, hoặc làm để cho vui (có kết quả) thì sao không chế thêm mấy thứ khác như là đạo hàm bậc nhất, hoặc tính phi tuyến của f,g sao đấy? tui chẳng biết.
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#17 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 10-10-2006 - 00:34

thế bác cho em vài hệ, lấy làm ví dụ xem nào, để anh em còn nhòm tí.. bác ở trình độ PhD thì quá đỉnh, em còn đang lẹt đẹt vì mới ra trường ĐH nè :D
<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#18 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 10-10-2006 - 00:42

thế bác cho em vài hệ, lấy làm ví dụ xem nào, để anh em còn nhòm tí.. bác ở trình độ PhD thì quá đỉnh, em còn đang lẹt đẹt vì mới ra trường ĐH nè :D

xin lỗi, chắc hiểu nhầm. mình đang học năm nhất chương trình phd (chứ k phải cầm phd được 1 năm. hehe.)

mình nói rồi mà. Ví dụ là: lấy hệ của bác và trong phương trình thêm vào vài thứ như hàm phụ thuộc vào (hiển nhiên, sự phụ thuộc là không quá quadratics với hệ số leading cực nhỏ. lớn chết liền. Xem vdu5 trong Giaquinta).

Rồi muốn vui thì xét quasilinear luôn, nghĩa là đừng có Laplace thôi.

Tại vì bác không nói rõ ứng dụng nên tôi mói suy ra là làm cho vui. vậy thì xét thằng nào chẳng được miễn là lạ.
Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#19 xuongrong

xuongrong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Đến từ:USA
  • Sở thích:- thích lúc nào cũng có bài toán để nghĩ lung tung nhưng không thích ngồi vào bàn học(?). Ghét phải làm bài tập để nộp.

Đã gửi 10-10-2006 - 01:08

hệ này gọi là reaction-diffusion systems, classical diffusion systems, hay standard reaction diffusion systems. Thiên hạ đã làm cho dạng này lâu rồi. Tuy nhiên bây giờ vẫn làm vì vẫn chế thằng f,g cho nó khó lên đúng không?

Bác nói làm sạch thì hơi quá! Thằng f có phụ thuộc vào quái đâu.

Với lại hệ vẫn là semilinear mà?

Lên MathScinet search thấy nhiều qu'a.

Nói chung mình thấy. xét vậy cũng được, cũng hay. bác cho điều kiện của thằng f và g để anh em sáng mắt chút được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuongrong: 10-10-2006 - 01:09

Chém dao xuống nước, nước càng chảy. Nâng chén tiêu sầu, càng sầu thêm.

#20 bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:Sát thủ đầu đầy mủ..

Đã gửi 10-10-2006 - 01:13

ngoài các điều kiện về tính tăng của f và g để đảm bảo các điều kiện của định lý qua núi, xem cuốn của M. Struwe, còn cần tính Lipschitz địa phương nữa. Hết :D
<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh