Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
A. Lý Thuyết:
Hàm số đơn điệu: Cho hàm số f xác định trên khoảng K, trong đó K là một khoảng , đoạn hoặc nửa khoảng.
* f đồng biến trên K nếu với mọi $\large x_1,x_2\in K , x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
* f nghịch biến trên K nếu với mọi $\large x_1,x_2 \in K , x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó :
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì$ \large f ' (x) \geq 0$ với mọi $\large x\in I$
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì $\large f ' (x) \leq 0$ với mọi $\large x\in I$
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
>Định lý 1: Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân ( Định lý Lagrange)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm c
(a,b) sao cho f(b)-f(a)=f'©( b-a)
Định lý 2:
1) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
* Nếu $\large f ' (x ) \geq 0; \forall x \in I $ và $\large f ' ( x ) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
* Nếu $\large f ' (x ) \leq 0 ; \forall x \in I $ và $\large f ' ( x ) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
* Nếu $\large f ' (x ) = 0 ; \forall x \in I $ thì hàm số f không đổi trên I
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a,b) và có đạo hàm trên khoảng (a,b).
* Nếu f ' ( x ) > 0 hoac f ' (x ) <0 ) $\forall x \in (a,b)$ thì hàm số f đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a,b)
* Nếu $\large f ' ( x ) = 0 \forall x \in (a,b)$thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a,b)
B. Bài Tập :
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi m
(-1;1) phương trình $ \large sin^2x + cosx = m$ có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn [0;
]Bài giải:
Xét hàm số $ f(x)=\large sin^2x + cosx $ liên tục trên đoạn [0;
]Ta có f' (x) = sinx(2cosx - 1) , x
(0; )Vì sinx > 0 nên f ' (x) = 0 $\large \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} \in [0; \pi]$
Hàm số đồng biến trên đoạn $\large [0; \dfrac{\pi}{3}]$ và nghịch biến trên đoạn $\large x \in [\dfrac{\pi}{3}, \pi]$
* Hàm số f liên tục trên đoạn $\large x \in [0; \dfrac{\pi}{3}]$, ta có $ \large 1 \leq f(x) \leq \dfrac{5}{4}$, nên phương trình cho không có nghiệm m
(-1;1)* Hàm số f liên tục trên đoạn$\large x \in [\dfrac{\pi}{3}, \pi]$, ta có $ \large -1 \leq f(x) \leq \dfrac{5}{4}$. Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục
( lớp 11) , với mọi $\large m \in (-1,1) \subset ( - 1; \dfrac{5}{4})$, tồn tại một số thực $\large c \in ( \dfrac{\pi}{3};\pi)$ sao cho $ f© = 0$ , với c là nghiệm phương trình , đồng thời hàm số f nghịch biến trên đoạn $\large x \in [\dfrac{\pi}{3}, \pi]$ phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\large [0; \pi]$
Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên R $ \large y = \dfrac{1}{3}(m^2+2m)x^3 + mx^2 + 2x + 1 $
Bài giải:
$\large y' = (m^2+2m)x^2 + 2mx + 2$
Để hàm số đồng biến trên R thì $\large y' \geq 0 ; \forall x$
* $ m^2 + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m = 0 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} \right.$
!/ m = -2 thì $\large y' = -4x + 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -2$ không thỏa
!!/ m = 0 thì $\large y ' = 2 \geq 0$ đúng
x R. Vậy m = 0 thỏa* $\large m^2 + 2m \neq 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m \ne 0 \\ m \ne - 2 \\ \end{matrix} \right.$, khi đó để $\large y ' \ge 0 \forall x \in R$ thì $\large \left\{\begin {m^2 + 2m >0}\\{\Delta_{y'} \leq 0} \Leftrightarrow \left\{\begin {\left\[\begin {m > 0}\\{ m < -2 }}\\{\left\[\begin{ m \leq - 4}\\{m \geq 0} \Leftrightarrow \left\[\begin { m > 0}\\{m\leq - 4}$
Vậy $\large \left\[\begin { m \geq 0}\\{m \leq - 4}$hàm số đổng biến trên R
Bài tập 3: Cho hàm số : $\large y = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}(m - 1)x^2 - ( m - 1)x - 3 $. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5
Bài giải :
* Tập xác định : D = R
*$ \large y ' = x^2 - (m - 1)x - ( m - 1)$
* $ \large \Delta = m^2 + 2m + 5 > 0 \forall m$, khi đó phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt$ \large x_1; x_2 ( x_1 < x_2)$
Để hàm số luôn nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 5 thì $\large y' \leq 0 ; \forall x $ sao cho $x_1 < x< x_2 \appro x$ thỏa mãn
$\large |x_2 - x_1| = 5 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1.x_2 = 5\Leftrightarrow m^2 + 2m + 5 = 5 \Leftrightarrow \left\[\begin{m = 0}\\{ m = -2} $
Bài tập tự luyện:
1/Chứng minh rằng phương trình $2x^2 \sqrt {x - 2} = 11$có 1 nghiệm duy nhất.
2/Cho hàm số $\large y = \dfrac{1}{3}(m - 1)x^3 + (m + 2)x^2 + (3m - 1)x - 2 $ có đồ thị là ( Cm); m là tham số.
a. Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
b. Tìm m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 4.
c. Tìm m để hàm số đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
[/b]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 15-06-2009 - 18:50
