Chủ đề này có 11 trả lời

[anhminh]

LỰC LƯỢNG TẬP HỢP VÔ HẠN.

Định nghĩa

Ký hiệu # T là lực lýợng của tập hợp T.
1> #A=#B <=> Tồn tại 1 song ánh f: A -> B.
2> #A<=B <=> Tồn tại 1 ðõn ánh f:A->B.
3> #A<#B <=> #A<=B và #A ≠ #B.

Tính chất
(1) #S = #S .
(2) Nếu #S = #T thì #T = #S .
(3) Nếu #S = #T và #T = #U, thì #S = #U.
(4) Nếu#S = #T, thì #S <= #T.
(5) Nếu #S<=#T và #T <= #U, thì #S <=#U .
(6)Với 2 tập S và T bất kì thì hoặc #S<=#T hoặc #S>=#T.
(7)Nếu #S <= #T and #T <=#S, then #S =#T (Schroder-Bernstein Theorem)

(2 tính chất cuối cùng không dễ chứng minh đâu)

Các khẳng định

1. #S<=#N và #S vô hạn thì #S=#N.
Cm:
#S<=#N nên tồn tại cách đánh số các phần tử của S là s_0,s_1,s_3…
Vì S vô hạn nên ta có ngay một đơn ánh từ N vào S: n->s_n, suy ra #N<=#S. Theo tc 5 có #S=#N.

Một tập S mà #S<=#N được gọi là tập đếm được
Một tập S mà #S=#N được gọi là tập vô hạn được

2. (Nguyên lý Máy đánh chữ I)
Cho tập hợp S và có cách để biểu diễn mỗi phần tử của S bởi một dãy hữu hạn kí tự sao cho không có 2 phần tử nào có cùng biểu diễn, thế thì #S<=#N. Nếu S vô hạn thì #S=#N.
Cm:
Vì số kí tự có khoảng <900 nên ta hoàn toàn có thể gán cho mỗi kí tự một số tự nhiên có 3 chữ số. Ví dụ: a:=101;b:=345. Lúc đó mỗi dãy kí tự sẽ tương ứng với 1 số tự nhiên, ví dụ ba-> 345101. Tương ứng đó là 1 đơn ánh từ S->N. Cho nên #S<=#N.
Nếu S vô hạn thì theo 1., nó là tập vô hạn đếm ðýợc.

3. #Q=#N.
Mỗi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn bởi tổ hợp hữu hạn kí tự, ví dụ: 1/2 . Do đó, theo 2., #Q=#N.

4.#%Q =#N (%Q: tập các số đại số, là các số phức làm nghiệm của 1 đa thức hệ số hữu tỉ nào đó).
Cm:
Ta cũng có thể biểu diễn một số Đại số bất kì bởi một tổ hợp các kí tự. Ví dụ nhý số chẳng hạn, ta có thể biểu diễn nó theo kiểu:
Nghiệm ảo của phýõng trình x^2=-2 xấp xỉ -1,4i
Chú ý lại là 1 số Đại số dù ko thể biểu diễn dưới dạng tường minh các công thức Toán Học thì cũng có thể biểu diễn bằng tổ hợp kí tự kiểu nhý trên.
Theo 2., ta có đt cần chứng minh.

Kí hiệu T×S ={(a,b)|a in T; b in S}
S^T là tập hợp các ánh xạ từ T vào S. Và #S^T=(#S)^(#T).
Tập luỹ thừa của S là tập hợp bao gồm tất cả các tập con của S. Kí hiệu p(S).
Với mọi tập S, tồn tại 1 song ánh x từ p(S) vào {0,1}^S, cho t.ứ mỗi tập con T của S với 1 phần tử của {0,1}^S nhý sau:
s thuộc S
f(T(s))=0 nếu s ko thuộc T.
f(T(s))=1 nếu s thuộc T.
Do đó #p(S)=#{0,1}^S=2^(#S).

5. Không tồn tại song ánh nào từ {0,1}^N vào N.
Cm:
Để cho tiện ta biểu diễn ánh xạ từ N->{0,1} theo dãy nhị phân, ví dụ dãy 101… chính là ánh xạ cho f(0)=1,f(1)=0,f(2)=1…
Phản chứng. Giả sử tồn tại 1 song ánh như vậy. Có nghĩa là ta có
1<-> a_11a_12…a_1n….
2<-> a_21a_22…a_2n…_
…
Xét phần tử b_1b_2… của tập {0,1}^N, xđ bởi: b_n khác a_nn. Ta thấy nó không có phtử thuộc N nào cho tứ cả. Mâu thuẫn! Ta có đpcm.

6. #N< #2^N.
Cm:
Xét đơn ánh N->2^N nhý sau:
0->000…
1->010…
2->002…
…
Suy ra #N<=#2^N.
Theo 5., ta có #N không bằng #2^N. Từ đó, ta có kđịnh ở 6.

7. (Nguyên lý máy đánh chữ II)
Cho S là 1 tập hợp, nếu tồn tại cách biểu diễn mỗi phần tử của S bởi dãy vô hạn các kí tự sao cho ko có 2 phtử nào của S có cùng biểu diễn. Thế thì #S<=2^N.
Cm:
Ta cho tương ứng mỗi kí tự với 1 dãy nhị phân 10 chữ số. Ví dụ a:=1 000 000 000; b:=0 111 011 000,… Thế thì mỗi phần tử của tập S sẽ tứ với 1 dãy nhị phân vô hạn chữ số. Tương ứng đó là ðõn ánh từ S vào 2^N. Suy ra #S<=2^N.

8. #R=#2^N.
Cm:
Xét ánh xạ từ 2^N vào R cho tứ mỗi phần tử a_1a_2… với số thực a_1a_2… Đó là 1 ðõn ánh. Do đó: #2^N<=#R.
Theo 7. thì #R<=#2^N. vậy theo tc 7, ta có kđ 8.

*Giả thuyết Continuum.
Nhý ta biết, trong các tập hợp vô hạn thì tập N là tập có lực lýợng nhỏ nhất (theo 1.), Kí hiệu #N là N_0. Ta gọi N_1 là lực lýợng của tập hợp nhỏ nhất lớn hõn N_0.
Câu hỏi đặt ra là:
2^N_0=N_1 hay 2^N_0 >N_1 ?
Giả thuyết Continuum: 2^N_0=N_1.
Năm 1940, Godel cminh rằng giả thuyết này ko thể bác bỏ từ các tiên đề về tập hợp.
Năm 1963, Cohen lại chứng minh rằng, nó không thể chứng minh cũng từ các tiên đề đó.
Có nghĩa là: Việc gt Continuum đúng hay sai ko ảnh hưởng gì đến Toán Học cả!
Vai trò của nó từa tựa tiên đề Ơclit trong Hình học. Chấp nhận hay Bác bỏ sẽ dẫn đến 1 Toán học khác nhau.

[Ronaldo]

*Giả thuyết Continuum.
Nhý ta biết, trong các tập hợp vô hạn thì tập N là tập có lực lýợng nhỏ nhất (theo 1.), Kí hiệu #N là N_0. Ta gọi N_1 là lực lýợng của tập hợp nhỏ nhất lớn hõn N_0.
Câu hỏi đặt ra là:
2^N_0=N_1 hay 2^N_0 >N_1 ?
Giả thuyết Continuum: 2^N_0=N_1.
Năm 1940, Godel cminh rằng giả thuyết này ko thể bác bỏ từ các tiên đề về tập hợp.
Năm 1963, Cohen lại chứng minh rằng, nó không thể chứng minh cũng từ các tiên đề đó.
Có nghĩa là: Việc gt Continuum đúng hay sai ko ảnh hưởng gì đến Toán Học cả!
Vai trò của nó từa tựa tiên đề Ơclit trong Hình học. Chấp nhận hay Bác bỏ sẽ dẫn đến 1 Toán học khác nhau.

anhminh nói rõ hơn về thông tin trên nhé , đọc 2 câu này thấy giống hệt nhau . Theo như camum nhớ thì Cohen giải quyết giả thuyết continumn rộng hẹp gì đó?

[anhminh]

Ý em là thế này anh ạ! (from answers.com)
Kurt Gödel showed in 1940 that the continuum hypothesis (CH for short) cannot be disproved from the standard Zermelo-Fraenkel set theory, even if the axiom of choice is adopted. Paul Cohen showed in 1963 that CH cannot be proven from those same axioms either.

[anhminh]

[QUOTE]Giả sử X là 1 tập hợp và P(X) là tập hợp các tập hợp con của X. Chứng minh CardX< Card P(X)[/QUOTE].
Cm:
Dễ thấy,#X #p(X)
ta cm #X p(X)
Phản chứng: Giả sử tồn tại 1 song ánh tù X vào p(X).
Với mỗi phần tử x X, gọi F(x) là tập con của X t.ứ với x.
Xét tập T gồm các phần tử x sao cho F(x) không chứa x.
Dễ thấy rằng T ko thể t.ứ với bất cứ p.tử x nào. Mâu thuẫn!
Vậy, #X<#p(X).

Cm tính chất 7.Nếu #S <= #T and #T <=#S, then #S =#T (Schroder-Bernstein Theorem)
Cm.
Giả sử đon ánh f:S->T và đon ánh g:T->S.
Gọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?h(x)=f(x) với x S.
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?h(x)=g^{-1}(x) với x S.
Ta cm h là song ánh.
*) Đơn ánh.http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=g^{-1}(y) thì http://dientuvietnam...metex.cgi?g.f(x)=g.(g^{-1})(y)=y, cho nên nếu x S thì y:in S. Mà f và g^{-1} đều đơn ánh cho nên h đon ánh.
*) Toàn ánh. Với y T. Nếu g(y) S thì h(g(y))=g^{-1}(g(y))=y. Nếu g(y)in S tức là tồn tại n nguyên dương và x:in S sao cho g(y)=(g.f)^n(x), khi đó:.
Vậy, h là song ánh. Định lý được cminh xong.

[nthd]

Xin bổ sung thêm một tính chất:
Công thức sàng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_i)
trong đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k phần tử của {http://dientuvietnam...x.cgi?1,2,..,n}

[Doraemon]

Năm 1940, Godel cminh rằng giả thuyết này ko thể bác bỏ từ các tiên đề về tập hợp.
Năm 1963, Cohen lại chứng minh rằng, nó không thể chứng minh cũng từ các tiên đề đó.
Có nghĩa là: Việc  gt Continuum đúng hay sai ko ảnh hưởng gì đến Toán Học cả!
Vai trò của nó từa tựa tiên đề Ơclit trong Hình học. Chấp nhận hay Bác bỏ sẽ dẫn đến 1 Toán học khác nhau.

Theo mình thì câu trên không chính xác. Giả thuyết Continuum được chứng minh là tương đương với tiên đề chọn trong lý thuyết tập hợp. Mà không có tiên đề ấy thì chẳng còn gì là toán học nữa. Chính xác là giả thuyết ấy ko thể chứng minh hay bác bỏ mà thôi. Thứ nữa, nó không "từa tựa" tiên đề Euclide trong hình học đâu , chẳng có thứ toán học nào thiếu tự nhiên cả. Tiên đề chọn rất tự nhiên.

[VDuc]

Giả thuyết Continum có vai trò quan trọng trong toán học. Cùng với giả thuyết Continum, còn có nhiều mệnh đề khác có tính chất là: độc lập với các mệnh đề khác của toán học.
Trong cuốn Đại số đại cương của thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng, tiên đề chọn là tương đương với: bổ đề Zorn, nguyên lý tối đại Hausdorff, định đề Zermelo, nguyên lý sắp thứ tự tốt,...
Trong cuốn Lý thuyết tập hợp của Xieoropinxki, giả thuyết Continum và tiên đề chọn đều độc lập với các tiên đề còn lại của lý thuyết tập hợp do Zermelo xây dựng.
Mình ko tìm được tài liệu nào cho rằng tiên đề chọn và giả thuyết Continum là tương đương, và mình cũng ko nghĩ như vậy. Bạn đọc được điều đó ở đâu thì chỉ cho mình nhé!

[VDuc]

Xin bổ sung thêm một tính chất:
Công thức sàng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_i)
trong đó http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k phần tử của {http://dientuvietnam...x.cgi?1,2,..,n}

bạn có thể cm giùm ct sàng được ko?

[MrMATH]

Theo mình thì câu trên không chính xác. Giả thuyết Continuum được chứng minh là tương đương với tiên đề chọn trong lý thuyết tập hợp. Mà không có tiên đề ấy thì chẳng còn gì là toán học nữa. Chính xác là giả thuyết ấy ko thể chứng minh hay bác bỏ mà thôi. Thứ nữa, nó không "từa tựa" tiên đề Euclide trong hình học đâu , chẳng có thứ toán học nào thiếu tự nhiên cả. Tiên đề chọn rất tự nhiên.

Anh Do viết bài này - em cũng thấy lạ -

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 30-10-2006 - 18:09

[Doraemon]

Theo mình thì câu trên không chính xác. Giả thuyết Continuum được chứng minh là tương đương với tiên đề chọn trong lý thuyết tập hợp. Mà không có tiên đề ấy thì chẳng còn gì là toán học nữa. Chính xác là giả thuyết ấy ko thể chứng minh hay bác bỏ mà thôi. Thứ nữa, nó không "từa tựa" tiên đề Euclide trong hình học đâu , chẳng có thứ toán học nào thiếu tự nhiên cả. Tiên đề chọn rất tự nhiên.

Xin lỗi mình viết sai (dòng chữ đậm)!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 30-10-2006 - 18:57

[mecong]

Ý em là thế này anh ạ! (from answers.com)
Kurt Gödel showed in 1940 that the continuum hypothesis (CH for short) cannot be disproved from the standard Zermelo-Fraenkel set theory, even if the axiom of choice is adopted. Paul Cohen showed in 1963 that CH cannot be proven from those same axioms either.

Hic, mình đang cần tìm hiểu chứng minh của định lý Schroder - Bernstein, mà không thấy ai hướng dẫn chi tiết cả, toàn ghi lấp lửng giữa chừng thôi à, không biết cách để làm nữa. Bạn nào biết làm ơn hướng dẫn chi tiết hơn cho mình với nhé. Chân thành cảm ơn.

[funcalys]

môn này khó thế ah?
---------------------------
Angry Birds golden eggs

Đây chỉ là phần "kiến thức chuẩn bị" của các cuốn giáo trình Toán thôi (cấu trúc đại số, giải tích, topo,...)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 28-08-2011 - 08:21