Chủ đề này có 5 trả lời

[girltinhnghich]

Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất

[BlackSelena]

Hạ $EM \perp AB$
$\triangle BME:\text{ vuông tại M}$
$\angle B = 45^o$
$\Rightarrow \triangle BME:\text{ vuông cân}$
$\Rightarrow BM = EM$
Mặt khác, dễ dàng chứng minh $\triangle MED = \triangle ADF (\text{c.h-g.n})$
$\Rightarrow AD= EM =BM$
Đặt $AD=EM=BM = x$
$\Rightarrow MD = AB - BM - AD = 10 - 2x$
$2S_{DEF} = DE^2$ (để 2S đỡ phải frac friếc đau tay )
Vậy ta cần tìm $\text{min } DE^2$
Mặt khác, theo $\text{Pythagore}$ trong $\triangle MED$:
$DE^2 = DM^2 + EM^2$
$=x^2+(10-2x)^2$
$=5x^2-40x+100$
$=5(x^2-8x + 20)$
$=5(x-4)^2 + 20 \geq 20$ Vậy $\text{min } DE^2 = 20$
$\Rightarrow \text{min } S_{DEF} = 10$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x = 4$
$\Rightarrow DB = DM + BM = 6$
$\Rightarrow DA = 4$
Kết luận: $S_{DEF} \text{ min } = 10$ khi $D$ cách $B$ một khoảng là 6, cách $A$ một khoảng là 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-08-2012 - 23:43

[The Gunner]

Cách khác.(hơi THPT tí)
Áp dụng định lí hàm cos trong tam giác CEF, đặt $CE=x, CF=y$ thì $EF^2=x^2+y^2-\sqrt{2}xy$ ( vì góc $C$ bằng $45^0$)
mặt khác $\widehat{CEF}=\widehat{DFA}=\widehat{BDE}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)
Từ đó suy ra tam giác$BDE$ và $CEF$ đồng dạng, cho ta $BE:CF=DE:EF=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Do đó $BC=BE+CE=\frac{y}{\sqrt{2}}+x$
(Dùng pp hệ số bất định ta sẽ chứng minh)
$x^2+y^2-\sqrt{2}xy \geq \frac{1}{5}\left(\frac{y}{\sqrt{2}}+x\right)^2 $
$<=> 9x^2+8y^2-12\sqrt{2}xy \geq 0$
$<=>(3x-2\sqrt{2}y)^ \geq 0$
đúng
vậy suy ra $EF \geq \frac{BC}{\sqrt{5}}$
Do đó ta tìm được $S_{DEF} \geq 10$
đằng thức xảy ra như trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 04-08-2012 - 00:59

[hoangtrunghieu22101997]

Một số phát hiện :
1. Hạ $ AH \perp BC$ tại H
Hạ $DK \perp EF$ tại K
Chứng minh rằng : $\overline{A,H,K}$.
Thật vậy
Xét tứ giác $ADKF$ có $\hat{A}+\hat{K}=90^o+90^o=180^o$
Nên $ADKE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ADK}=\widehat{DFK}=45^o$
Mà $\widehat{DAH}=45^o$
Ta có $\overline{A,H,K}$.

2. Khi $S_{DEF}$ đạt giá trị nhỏ nhất .Tính $KH$.
Ta có :$AH=\dfrac{BC}{2}=5\sqrt{2}$
Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác $ADKE$ nội tiếp có:
$AD.KF+DK.AF=DF.AK$
Mà $AD=4;KF=KD=\dfrac{DF}{\sqrt{2}}=\dfrac{EF}{2};AF=\sqrt{DF^2-AD^2}$.

[Beautifulsunrise]

Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất

Do đó ta có thêm BT1 sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D. Dựng tam giác BDE vuông cân tại B với E khác phía A đối với BC. CE cắt AB tại F.
a) Tìm quỹ tích điểm E khi D di động trên cạnh AC.
b) Tìm Min của $BF^2+CD^2$
Và thêm BT 2:

Và thêm BT3:
Cho góc xOy vuông. Trên cạnh Ox, Oy lần lượt lấy điểm D, F sao cho OD + 2OF = a ( a cho trước). Trong góc xOy vẽ tam giác DEF vuông cân tại F. Tìm quỹ tích điểm E.
Và thêm 1 bài nữa:
BT4: Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ lớn nhất. @_^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 05-08-2012 - 12:55

[T*genie*]

Thay anh Thế tổng kết phát để ra đề mới (4 problems đầu tiên không quá căng thẳng để khởi động, problem thứ 5 sẽ là 1 bài olympic)

BlackSelena được 10 điểm
The Gunner, hoangtrunghieu22101997 & binhmetric mỗi người được 5 điểm.