Chủ đề này có 4 trả lời

[supermember]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$$x^{y^2}=y^x$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 02-07-2014 - 23:22

[ChinhLu]

 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$$x^{y^2}=y^x$$

 

Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$

Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương. 

Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)

$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$ 

Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.

 

Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:

 

-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho 

$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$ 

Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được. 

 

 

-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho

$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$

Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.

 

-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.

 

Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 03-07-2014 - 03:14

[ner0dragOn]

Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$

Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương. 

Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)

$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$ 

Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.

 

Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:

 

-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho 

$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$ 

Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được. 

 

 

-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho

$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$

Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.

 

-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.

 

Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.

thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng ,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút

tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???

[ChinhLu]

thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng ,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút

tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???

Neu co mot index $i$ sao cho $\frac{n_i}{m_i}\leq 2$ thi tat ca cac phan so khac cung nho hon 2 (because they are all equal). Do do $x\leq y^2$ va dieu nay dan den $n_i\leq m_i$ (which is impossible).

[chanhquocnghiem]

Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$

Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương. 

Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)

$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$ 

Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.

 

Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:

 

-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho 

$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$ 

Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được. 

 

 

-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho

$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$

Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.

 

-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.

 

Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.

 

thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng ,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút

tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???

$n_{i}> m_{i}\Rightarrow x> y^2$ (vì $\frac{n_{i}}{m_{i}}=\frac{x}{y^2}$)

Mà $x=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$ và $y^2=p_{1}^{2m_{1}}p_{2}^{2m_{2}}...p_{k}^{2m_{k}}$ nên $n_{i}> 2m_{i},\forall i$

 

Riêng bài của bạn ChinhLu có chỗ viết "$x$ không thể lớn hơn $3$" nhưng sau đó lại có $x=27$ và $x=16$ (mâu thuẫn) nên mình xin sửa lại một chút như sau :

 

Giả thiết thêm rằng $p_{1}> p_{2}> ...> p_{k}$

TH1 : $p_{1}\geqslant 5$ (như bạn ChinhLu đã làm)

 

TH2 : $p_{1}=3$

$\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{x}{y^2}\leqslant 3^{n_{1}-2m_{1}}$

Đặt $q=\frac{n_{1}}{m_{1}}$ ($q\in \mathbb{N}^+$, $q> 2$).Suy ra $3^{m_{1}\left ( q-2 \right )}\leqslant q$ (*)

+ Nếu $m_{1}=1$ : $3^{q-2}\leqslant q\Rightarrow q=3\Rightarrow n_{1}=qm_{1}=3$

+ Nếu $m_{1}\geqslant 2$ : $\left ( 3^{m_{1}} \right )^{q-2}\leqslant q$ (Không có giá trị $q$ thích hợp)

 

Với $m_{1}=1;n_{1}=3$ thì dấu bằng xảy ra ở (*) suy ra trong phân tích của $x$ và $y$ chỉ có thừa số nguyên tố duy nhất là $p_{1}=3$.Vậy $x=p_{1}^{n_{1}}=3^3=27$ ; $y=p_{1}^{m_{1}}=3^1=3$

 

TH3 : $p_{1}=2$

Làm tương tự ta được $x=p_{1}^{n_{1}}=2^4=16$ ; $y=p_{1}^{m_{1}}=2^1=2$