Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Nhóm con Sylow của S_n?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 16-03-2005 - 20:25

Các bác thử tìm các p-nhóm con Sylow của Sn xem ? (đương nhiên p là ước nguyên tố của n!)

Day la 1 cau hoi kho´, to´ nghi la` tuy thuoc vao` dang cua n va` p. Chang han lay vi du trong truong hop thi` don gian co the ap dung dinh ly´ Sylow, hoac co the xet .
Tuy nhien ta luon tinh duoc so nhom Sylow cua 1 nhom´: s :P 1 mod p. Tuy nhien trong truong hop nay` thi` cung van phai gia thiet p la` prim factor cua n.
Trong truong hop tong quat´ thi` qua' that to ko biet phai giai nhu the nao, khong biet den nay da co theorem nao` cho truong hop tong quat n va` p hay chua?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 16-03-2005 - 20:26


#2 Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Lang thang, thơ thẩn, nếm vài món ngon...

Đã gửi 16-03-2005 - 22:01

Chú ý rằng http://dientuvietnam...metex.cgi?S_{m} luôn được nhúng vào http://dientuvietnam...metex.cgi?S_{n}, http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n<m và là nhóm con của http://dientuvietnam...etex.cgi?S_{n}. Do đó nếu:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(n,m)=1 thì áp dụng định lý Sylow, ta có p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...metex.cgi?S_{n} . Đúng không nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 16-03-2005 - 22:08

Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#3 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 17-03-2005 - 04:57

@ chú mèo máy: Nhóm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_nhttp://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n! phần tử thì làm sao có thể là nhóm con Sylow của nhóm nào được :sum

Lang thang trên Mathscinet tìm được bài báo, trong review có trích dẫn rằng:

Mọi nhóm con http://dientuvietnam...tex.cgi?p-Sylow của một nhóm đối xứng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_m đều đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm dạng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C_p có lẽ là nhóm cyclic cấp http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p.

Câu hỏi: Cái này là "trích dẫn của trích dẫn", lấy ra từ review của một bài báo, vậy độ tin cậy bằng bao nhiêu :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canh_dieu: 18-03-2005 - 06:32

<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#4 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 17-03-2005 - 16:06

@ chú mèo máy: Nhóm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_nhttp://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n! phần tử thì làm sao có thể là nhóm con Sylow của nhóm nào được :sum

Lang thang trên Mathscinet tìm được bài báo, trong review có trích dẫn rằng:

Mọi nhóm con http://dientuvietnam...tex.cgi?p-Sylow của một nhóm đối xứng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_m đều đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm dạng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C_p có lẽ là nhóm cyclic cấp http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p.

Câu hỏi:  Cái này là "trích dẫn của trích dẫn", lấy ra từ review của một bài báo, vậy độ tin cậy bằng bao nhiêu :)

-------------------------------------------------------
Gửi các Mod: nên chăng tách những phần thảo luận về nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_n riêng ra, để cho bạn nguyenquocbao được yên tĩnh thực hiện trò chơi xếp hình?

Cai nay co ve dang´ tin cay. Vi` to´ nho´ la` trong cuon sach´ Dai so cua thay Nguyen Huu Viet Hung hinh` nhu cung co´ 1 dinh ly´ tuong tu nhu the nay.
Nhung hinh nhu con` 1 gia thiet nao do´ giua n,p.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 17-03-2005 - 16:08


#5 Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Lang thang, thơ thẩn, nếm vài món ngon...

Đã gửi 17-03-2005 - 17:26

Em xin lỗi, chỉ là nhóm con thôi, không thể có nhóm con p-Sylow như trên được. Thanks. Đầu óc mình lẩn thẩn rồi. :).
À, nhóm http://dientuvietnam...metex.cgi?G(n,p) có là nhóm đối xứng không?
Vậy ta có vấn đề thú vị: Khi nào thì http://dientuvietnam...metex.cgi?S_{n} có p-nhóm con Sylow là nhóm đối xứng, tức là nhóm dạng http://dientuvietnam...x.cgi?S_{p^{k}} ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 17-03-2005 - 17:36

Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#6 Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Lang thang, thơ thẩn, nếm vài món ngon...

Đã gửi 17-03-2005 - 18:03

Nhân đây, có bài toán thú vị sau: Cho http://dientuvietnam....cgi?GL(n,F_{q}) là nhóm tuyến tính tổng quát với các phần tử ma trận là của http://dientuvietnam...metex.cgi?F_{q} với http://dientuvietnam...metex.cgi?F_{q} là trường hữu hạn. Tìm p-nhóm con Sylow của nhóm này ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 18-03-2005 - 21:25

Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#7 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 21-03-2005 - 15:12

Ta có http://dientuvietnam...imetex.cgi?(m,p)=1, ở đây http://dientuvietnam...mimetex.cgi?U_n là nhóm con của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q) gồm các ma trận lũy đơn (unipotent matrix), tức là nhóm các ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo là 1. Khi đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_n là một nhóm con p-Sylow của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q). (Tương tự chi ra nhóm các ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo là 1 cũng là nhóm con p-Sylow của http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q).)

#8 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 22-03-2005 - 06:47

Thực tế người ta đã tìm được một công thức rất đẹp cho số tất cả các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của nhóm http://dientuvietnam...ex.cgi?GL(n,F_q), bằng cách sau.

Với một nhóm http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G hữu hạn cho trước ta biết rằng các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G là liên hợp từng đôi một. Nếu gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là tập các http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G, http://dientuvietnam...etex.cgi?p-nhóm con Sylow, http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?A trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G, thì ta có liên hệ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|S|=|G|/|N(A)|.

(Cái này có thể được kiểm tra bằng cách chứng minh phép ánh xạ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G/N(A) được hiểu là tập các lớp kề trái của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N(A)).

Do đó nếu biết được số các phần tử của normalizer của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A thì ta sẽ biết được số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G.

Quay trở lại bài toán. Noproof đã chỉ ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_n là một http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?GL(n,F_q). Cái normalizer của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_n lúc này là tập các ma trận khả nghịch http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_n trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?GL(n,F_q) chính là tập các ma trận tam giác trên (tất nhiên là phải khả nghịch), tạm gọi là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U. Số các phần tử của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(q-1)^nq^{n(n-1)/2}

Do đó số các http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-nhóm con Sylow của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?GL(n,F_q) là


<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#9 bupbebe

bupbebe

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Đã gửi 22-03-2005 - 19:55

Lang thang trên Mathscinet tìm được bài báo, trong review có trích dẫn rằng:

Mọi nhóm con http://dientuvietnam...tex.cgi?p-Sylow của một nhóm đối xứng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_m đều đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm dạng

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C_p có lẽ là nhóm cyclic cấp http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p.

Để hiểu được nhóm con Sylow của nhóm đối xứng, tốt nhất là ta hãy bắt đầu bằng vài ví dụ cụ thể. Ở đây tôi chỉ xét trường hợp p=2.

1. S_4:
Thông thường khi đi tìm nhóm con Sylow của một nhóm cho trước, người ta hay bắt đầu bằng việc tìm kiếm các 2-nhóm con quen thuộc, rồi sau đó tìm cách mở rộng chúng, nếu cần thiết.
Đối với nhóm S_4 thì ta có thể thấy ngay là mỗi một xích (cycle) (12) và (34)
cảm sinh một nhóm con bậc 2, và vì chúng rời nhau nên tích trực tiếp của chúng cũng nằm trong S_4.
Vậy bước đầu ta có một nhóm con bậc 4, gồm các phần tử:

H = <(12), (34), (12)(34), id>

Vì nhóm con 2-Sylow của S_4 phải có bậc 8 nên ta cần tìm một mở rộng G của H sao cho H là nhóm con có chỉ số 2 trong G.
Để ý rằng có thể xem H như là nhóm các phép giao hoán của bốn phần tử {1,2,3,4} mà không làm thay đổi hai khối (block) {1,2} và {3,4}. mặt khác, ta cũng có thể giao hoán các phần tử của hai khối cho nhau. Các phép giao hoán như vậy gồm có :

(13)(24), (14)(23), (1324), (1423), id.

Các phần tử này cùng với các phần tử của nhóm H lập thành một nhóm có bậc 8 (nhóm dihedral D_8), chính là nhóm Sylow cần tìm (tất nhiên không phải là duy nhất). Từ cách xây dựng các bạn có thể hiểu vì sao người ta gọi là "tích bện" (wreath product) - bắt đầu từ hai khối giống nhau, được xoắn (hay bện) với nhau để tạo thành nhóm con Sylow.

2. S_6

Đối với S_6 thì ta có thể qui về trường hợp nhóm đx nhỏ hơn bằng cách nhận xét rằng nhóm con S_4 x S_2 của S_6 có chỉ số (trong S_6) là một số lẻ (chính xác là 15). Vì thế nhóm con 2-Sylow của S_4 x S_2 cũng là nhóm con 2-Sylow của S_6. Từ đó ta có

Syl_2 (S_6) = G x Z/2

3. Từ ví dụ của S_6, ta rút ra một nhận xét quan trọng sau đây: Với một số n cho trước, giả sử biểu diễn nhị phân của n là n = n_0 2^0 + ... + n_k 2^k.
Thế thì nhóm con (S_{2^k})^n_k x .... (S_2)^{n_1} và S_n có cùng nhóm 2-Sylow (chứng minh: đếm số lũy thừa của 2).

Tóm lại, từ bây giờ ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp n là một lũy thừa của 2, n=2^k.

4. S_8

Nhóm con 2-Sylow của S_8 có bậc 2^7.

Ta sử dụng phép qui giản (reduction) như sau. Đầu tiên ta có phép nhúng một cách tự nhiên tích trực tiếp của hai nhóm S_4 trong S_8 : S_4 x S_4 -> S_8. Vì thế S_8 chứa tích G x G (bậc 64), ở đây G là nhóm con 2-Sylow của S_4 ở trên. Mặt khác ta cũng có thể giao hoán hai bản G cho nhau để lập thành một nhóm mới (dùng tích nửa trực tiếp) có bậc 128.

5. S_{2^{k+1}}

Nói chung, để xây dựng nhóm con 2-Sylow của S_{2^{k+1}} thì ta dùng hai nhóm con 2-Sylow của S_{2^k} rồi mở rộng chúng bằng một phép giao hoán như ở trên.

Bằng qui nạp, ta có tích bện k lần của nhóm Z/2 là nhóm con 2-Sylow của S_{2^k} như canhdieu đã viết.

Bài tập :-)

1. Tìm cái tâm (centralizer), cái chuẩn (normalizer) và nhóm Weyl của nhóm 2-Sylow của S_4 trong S_4.

2. Câu hỏi tương tự với S_6, S_8.
3. Tổng quát?

Câu hỏi:
4. Tìm nhóm con 2-Sylow của nhóm thay phiên (Alternating group) A_4, A_6, A_8, A_n?

#10 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 23-03-2005 - 19:14

Cho em hoi voi, anh Bupbebe. Doi voi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_n co´ dung` duoc Young diagram khong anh? Em cung chua thuc su hieu ro Young diagram dung` lam gi`. Neu ma` cu´ xep 1,2,3,4 ...... Lieu ta thu duoc thong tin gi tu bang Young nay` ?




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh