.
Toán tử Laplace (Laplacian) có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn trong vật lý, nó được sử dụng trong việc mô hình hóa quá trình truyền sóng và dòng nhiệt (phươngtrình Helmholtz); trong tĩnh điện học (phương trình Laplace và phương trình Poisson); trong cơ học lượng tử, nó biểu diễn động năng (phương trình Schrödinger); trong toán học, các Laplacian triệt tiêu liên quan đến giải tích điều hoà, và nó là hạt nhân cho việc xây dựng lý thuyết Hodge cũng như có nhiều kết quả quan trọng trong đối đồng điều de Rham
Cái này tôi vẫn không đồng ý. Ví dụ như ý nghĩa của đạo hàm khác với ứng dụng của đạo hàm.
Và có một điều tôi vẫn chưa hiểu cho lắm. Các tóan tử Laplacian triệt tiêu nhau sinh ra giải tích điều hòa. Cái này tôi thấy mù mờ, hoặc là do chưa hiểu ý nghĩa của nó, hoặc là định nghĩa về giải tích điều hòa nó có khác nhau.
Theo tôi hiểu thì giải tích điều hòa là như sau:
Xét G là một nhóm, tác động lên một không gian X.
1-Xây dựng một hàm tử, ứng không gian X với một không gian véc tơ H nào đó, đưa các tính chất của X thành các tính chất của H.
2-Phân loại tất cả các biểu diễn bất khả qui của G.
3- Phân tích biểu diễn của G lên H thành các biểu diễn con,
4-Các thông tin về không gian X sẽ được hiểu thông qua việc tạo thành của phân tích phổ này.
Ví dụ: xét nhóm SO(3) tác động lên mặt cầu 2 chiều, khi đó sinh ra các tác động lên các không gian Hilbert/sobolev tương ứng. các biểu diễn bất khả qui sẽ là tác động của G lên các phân thớ đường chỉnh hình trên S^2 và phân tích phổ của nó sẽ là giải tích điều hòa cầu. (sphereical Harmonic Analysis)
Và do đó, theo tôi hiểu, khi tóan tử Laplace, được xem như là tóan tử Casimir trong tâm của đại số bao phổ dụng của G, tác động lên trên H, thì sẽ tạo ra một phân tích phổ con. Tuy nhiên, tôi vẫn không hiểu được tại sao lại xuất hiện nhiều tóan tử Laplace để triệt tiêu nhau.
, đi vài tính chất cơ bản cho mọi người tham khảo đi 
