Chủ đề này có 47 trả lời

[ttt2511976]

Vẫn chưa thấy có gì relax cả ... nếu xét về tính bị chặn thì xin mời mấy không gian như BMO, VMO, hoặc các kg L^p có trọng ...

Đúng là wavelet , đi vài tính chất cơ bản cho mọi người tham khảo đi
Không biết ngoải tính bị chặn ra còn tính chất gì không nhỉ? Ứng dụng vào những đâu?

[xuongrong]

pde cụ thể chút nha. mọi người sẽ dùng gì để phán khi được hỏi: chứng minh tồn tại nghiệm yếu, đánh giá được gì nhiều ở nghiệm yếu, và nó có là nghiệm cổ điển không, nghiệm cổ điển thì có toàn cục không của bài sau:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega cho bị chặn trong R^n. a,b hằng số dương. Giả sử luôn điều kiện đầu đẹp như mơ, i.e., với một p nào đó > n.

pt này đc gọi là pt logitic thì phải. nó mô tả dân số của một loài bất kì. u là mật độ dân số tại thời điểm t vị trí x. ở đây được giả thiết đơn giản nhất đó là sự di chuyển (diffusion) và mật độ (density u) của loài không phụ thuộc density của loài cũng như tác động của môi trường. hệ số a>0 giải thích sự sinh đẻ của loài và hệ số -bu giải thích sự chết. từ lý giải này hy vọng sẽ còn bịa thêm nhiều model khác.

mời phán.

[xuongrong]

pde cụ thể chút nha. mọi người sẽ dùng gì để phán khi được hỏi: chứng minh tồn tại nghiệm yếu, đánh giá được gì nhiều ở nghiệm yếu, và nó có là nghiệm cổ điển không, nghiệm cổ điển thì có toàn cục không của bài sau:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega cho bị chặn trong R^n. a,b hằng số dương. Giả sử luôn điều kiện đầu đẹp như mơ, i.e., với một p nào đó > n.

pt này đc gọi là pt logitic thì phải. nó mô tả dân số của một loài bất kì. u là mật độ dân số tại thời điểm t vị trí x. ở đây được giả thiết đơn giản nhất đó là sự di chuyển (diffusion) và mật độ (density u) của loài không phụ thuộc density của loài cũng như tác động của môi trường. hệ số a>0 giải thích sự sinh đẻ của loài và hệ số -bu giải thích sự chết. từ lý giải này hy vọng sẽ còn bịa thêm nhiều model khác.

mời phán.

để lộn topic thì phải. move qua topic mới dùm hả?

[xuongrong]

điều kiện biên lý giải cho việc loài này không có xu huớng đi ra khỏi miền Omega đang xét. tức là, đạo hàm theo hướng pháp tuyến = 0. đk này có tên là Neumann boundary condition.

[bookworm_vn]

điều kiện biên lý giải cho việc loài này không có xu huớng đi ra khỏi miền Omega đang xét. tức là, đạo hàm theo hướng pháp tuyến = 0. đk này có tên là Neumann boundary condition.

nói cái gì đó trình cao hơn đc không? từ thuở cha sinh mẹ đẻ đến h toàn nghe đi nghe lại mấy cái đó

[xuongrong]

nói cái gì đó trình cao hơn đc không? từ thuở cha sinh mẹ đẻ đến h toàn nghe đi nghe lại mấy cái đó

đúng là nói ra thấy ngốc quá. không có a b c thì sao khá lên được. cái gì cũng phải có mở đầu chứ. chán quá. cóc thèm chơi nữa.

[xuongrong]

đúng là nói ra thấy ngốc quá. không có a b c thì sao khá lên được. cái gì cũng phải có mở đầu chứ. chán quá. cóc thèm chơi nữa.

ở vn nhìn biết liền. làm toán cứ lao vào làm mà cóc hiểu bài toán mình làm có ý nghĩa quái gì cả. bày đặt khó với dễ.

xin trích một câu chuyện sau (được kể long vòng nhưng gốc từ bạn tui) mà ngó quá thì các bác tự hiểu.

một số bác ở vn làm toán theo kiểu ngày ngày đi cuốc đất trên một mảnh đất mà không biết để trông cây gì cả. cứ làm vậy hy vọng một ngày đẹp trời có con chim bay qua ỉa một bãi và hy vọng trong đám phân đó có mầm mống của một cây gì đó để việc cuốc đất của mình trở nên có ý nghĩa.

best.

[ttt2511976]

pt này đc gọi là pt logitic thì phải. nó mô tả dân số của một loài bất kì. u là mật độ dân số tại thời điểm t vị trí x. ở đây được giả thiết đơn giản nhất đó là sự di chuyển (diffusion) và mật độ (density u) của loài không phụ thuộc density của loài cũng như tác động của môi trường. hệ số a>0 giải thích sự sinh đẻ của loài và hệ số -bu giải thích sự chết. từ lý giải này hy vọng sẽ còn bịa thêm nhiều model khác.

mời phán.

Phán nhé:

Phương trình kiểu logistic này chỉ mô tả một cách sơ sài (đơn giản hóa sự sinh và chết của một loài nào đó). Nói chung mình thấy bảo là có ứng dụng nhưng không biết ứng dụng cụ thể là gì. Có nguồn nào cụ thể chỉ rõ nó được ứng dụng như thế nào không, tại đâu và mức độ ảnh hưởng, thấy nhiều sách nói chung chung quá.

[ttt2511976]

nói cái gì đó trình cao hơn đc không? từ thuở cha sinh mẹ đẻ đến h toàn nghe đi nghe lại mấy cái đó

Không biết bookworm_vn nghe được bao nhiêu về vấn đề đó, nói thử để mọi người nghe đi, chỉ cần ý tưởng thôi nhé.

[bookworm_vn]

vi có hiểu gì đâu nên nghe 1 tí đã chán, thích nghe cái khác

[Kakalotta]

Hêy, hỏi mọi người một câu rất ngớ ngẩn, tại sao mọi người lại thích tóan tử Laplace thế? Có ai có thể giải thích cho dân ngoại đạo PDE hiểu tại sao được không? Cái gì đặc trưng cho tóan tử Laplace ngoài mấy tính chất kĩ thuật kiểu của hàm điều hòa và tính chất nói chung của tóan tử vi phân elliptic (chỉ số Atiyah-Singer)? Đến giờ nói thật tôi vẫn không hiểu nổi ý nghĩa của tóan tử Laplace.

Theo cái tôi hiểu thì một mặt tóan tử Laplace có thể coi là tóan tử Casimir của 1 đại số Lie trong lý thuyết biểu diễn và sinh ra phân tích phổ, tuy nhiên điều này không được rõ ràng với các đại số Lie khác. Mặt khác, nó là một cách lịch sự để encode cấu trúc Riemann và sinh ra lý thuyết Hodge. Tuy nhiên, về khía cạnh đó, ta hòan tòan có thể thay tóan tử Laplace bằng tóan tử Dirac và ta hòan tòan khôi phục được Riemann structure bằng tóan tử Dirac (như người ta vẫn làm trong hình học noncommutative). Do đó, vấn đề vẫn chưa rõ ràng, và nói thật tôi vẫn không thỏa mãn.

Nhưng tôi vẫn không thể hiểu được cái vai trò nội tại của nó trong giải tích cổ điển, ngoài việc nó mô tả được các bài tóan vật lý? Mọi người thích nó tại sao? NÓ đẹp? nó ngắn gọn?
Tại sao người ta cứ phải thích tóan tử đó chứ không phải tóan tử khác? Tại sao không phải là trừ mà là cộng, bậc 2 chứ không phải bậc 3?

[ttt2511976]

Hêy, hỏi mọi người một câu rất ngớ ngẩn, tại sao mọi người lại thích tóan tử Laplace thế? Có ai có thể giải thích cho dân ngoại đạo PDE hiểu tại sao được không? Cái gì đặc trưng cho tóan tử Laplace ngoài mấy tính chất kĩ thuật kiểu của hàm điều hòa và tính chất nói chung của tóan tử vi phân elliptic (chỉ số Atiyah-Singer)? Đến giờ tôi vẫn không hiểu nổi ý nghĩa của tóan tử Laplace?

Câu hỏi hay đấy.

Toán tử Laplace (Laplacian) có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn trong vật lý, nó được sử dụng trong việc mô hình hóa quá trình truyền sóng và dòng nhiệt (phươngtrình Helmholtz); trong tĩnh điện học (phương trình Laplace và phương trình Poisson); trong cơ học lượng tử, nó biểu diễn động năng (phương trình Schrödinger); trong toán học, các Laplacian triệt tiêu liên quan đến giải tích điều hoà, và nó là hạt nhân cho việc xây dựng lý thuyết Hodge cũng như có nhiều kết quả quan trọng trong đối đồng điều de Rham.

[Kakalotta]

.
Toán tử Laplace (Laplacian) có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn trong vật lý, nó được sử dụng trong việc mô hình hóa quá trình truyền sóng và dòng nhiệt (phươngtrình Helmholtz); trong tĩnh điện học (phương trình Laplace và phương trình Poisson); trong cơ học lượng tử, nó biểu diễn động năng (phương trình Schrödinger); trong toán học, các Laplacian triệt tiêu liên quan đến giải tích điều hoà, và nó là hạt nhân cho việc xây dựng lý thuyết Hodge cũng như có nhiều kết quả quan trọng trong đối đồng điều de Rham

Cái này tôi vẫn không đồng ý. Ví dụ như ý nghĩa của đạo hàm khác với ứng dụng của đạo hàm.
Và có một điều tôi vẫn chưa hiểu cho lắm. Các tóan tử Laplacian triệt tiêu nhau sinh ra giải tích điều hòa. Cái này tôi thấy mù mờ, hoặc là do chưa hiểu ý nghĩa của nó, hoặc là định nghĩa về giải tích điều hòa nó có khác nhau.

Theo tôi hiểu thì giải tích điều hòa là như sau:
Xét G là một nhóm, tác động lên một không gian X.
1-Xây dựng một hàm tử, ứng không gian X với một không gian véc tơ H nào đó, đưa các tính chất của X thành các tính chất của H.
2-Phân loại tất cả các biểu diễn bất khả qui của G.
3- Phân tích biểu diễn của G lên H thành các biểu diễn con,
4-Các thông tin về không gian X sẽ được hiểu thông qua việc tạo thành của phân tích phổ này.
Ví dụ: xét nhóm SO(3) tác động lên mặt cầu 2 chiều, khi đó sinh ra các tác động lên các không gian Hilbert/sobolev tương ứng. các biểu diễn bất khả qui sẽ là tác động của G lên các phân thớ đường chỉnh hình trên S^2 và phân tích phổ của nó sẽ là giải tích điều hòa cầu. (sphereical Harmonic Analysis)


Và do đó, theo tôi hiểu, khi tóan tử Laplace, được xem như là tóan tử Casimir trong tâm của đại số bao phổ dụng của G, tác động lên trên H, thì sẽ tạo ra một phân tích phổ con. Tuy nhiên, tôi vẫn không hiểu được tại sao lại xuất hiện nhiều tóan tử Laplace để triệt tiêu nhau.

[ttt2511976]

Theo cái tôi hiểu thì một mặt tóan tử Laplace có thể coi là tóan tử Casimir của 1 đại số Lie trong lý thuyết biểu diễn và sinh ra phân tích phổ, tuy nhiên điều này không được rõ ràng với các đại số Lie khác. Mặt khác, nó là một cách lịch sự để encode cấu trúc Riemann và sinh ra lý thuyết Hodge. Tuy nhiên, về khía cạnh đó, ta hòan tòan có thể thay tóan tử Laplace bằng tóan tử Dirac và ta hòan tòan khôi phục được Riemann structure bằng tóan tử Dirac (như người ta vẫn làm trong hình học noncommutative). Do đó, vấn đề vẫn chưa rõ ràng, và nói thật tôi vẫn không thỏa mãn.

Nói chung, toán tử Laplace có thể coi như toán tử Casimir trên một nhóm Lie nửa đơn. Mình vẫn không hiểu câu: "tuy nhiên điều này không được rõ ràng với các đại số Lie khác".

Toán tử Dirac được xem như căn bậc hai hình thức của toán tử Laplace, tuy nhiên để xây dựng cấu trúc Riemann và sinh ra lý thuyết Hodge thì cần toán tử mở rộng của Laplace (Laplace-Beltrami, hay Laplace-de Rham).

[Kakalotta]

bởi vì rằng thường thì ta dùng với nhóm SO(n). với các nhóm lie/đại số Lie khác (ví dụ các đại số E8, Kacmoody và Virasoros ) thì dạng của nó rất phức tạp (và nói thật là tôi chưa tính) sẽ khác với dạng của tóan tử Laplace mà bên PDE sử dụng, nên tôi nghĩ tốt nhất là nên bỏ qua vì chắc là mọi người không dùng.

[ttt2511976]

Cái này tôi vẫn không đồng ý. Ví dụ như ý nghĩa của đạo hàm khác với ứng dụng của đạo hàm.
Và có một điều tôi vẫn chưa hiểu cho lắm. Các tóan tử Laplacian triệt tiêu nhau sinh ra giải tích điều hòa. Cái này tôi thấy mù mờ, hoặc là do chưa hiểu ý nghĩa của nó, hoặc là định nghĩa về giải tích điều hòa nó có  khác nhau.

Theo tôi hiểu thì giải tích điều hòa là như sau:
Xét G là một nhóm, tác động lên một không gian X.
1-Xây dựng một hàm tử, ứng không gian X với một không gian véc tơ H nào đó, đưa các tính chất của X  thành các tính chất của H.
2-Phân loại tất cả các biểu diễn bất khả qui của G.
3- Phân tích biểu diễn của G lên H thành các biểu diễn con,
4-Các thông tin về không gian X sẽ được hiểu thông qua việc tạo thành của phân tích phổ này.
Ví dụ: xét nhóm SO(3) tác động lên mặt cầu 2 chiều, khi đó sinh ra các tác động lên các không gian Hilbert/sobolev tương ứng. các biểu diễn bất khả qui sẽ là tác động của G lên các phân thớ đường chỉnh hình trên S^2 và phân tích phổ của nó sẽ là giải tích điều hòa cầu. (sphereical Harmonic Analysis)


Và do đó, theo tôi hiểu, khi tóan tử Laplace, được xem như là tóan tử Casimir trong tâm của đại số bao phổ dụng của G, tác động lên trên H, thì sẽ tạo ra một phân tích phổ con. Tuy nhiên, tôi vẫn không hiểu được tại sao lại xuất hiện nhiều tóan tử Laplace để triệt tiêu nhau.

Theo mình hiểu thì ứng dụng cũng là một phần của ý nghĩa. Kakalotta có thể nói ý nghĩa đạo hàm là gì không?


"Các tóan tử Laplacian triệt tiêu nhau sinh ra giải tích điều hòa"
Mình dùng toán tử Laplace triệt tiêu là ý chỉ nhân của toán tử Laplace. Lúc này nó "liên quan" đến giải tích điều hoà.

Giải tích điều hòa theo mình hiểu là:
Ngành nghiên cứu việc biểu diễn các hàm (tín hiệu) thành các sóng cơ bản (còn gọi là hamonic, được mở rộng cho integer frequency multiple), nó mở rộng khái niệm chuỗi Fourier, biến đổi Fourier, và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như xử lý ảnh, cơ học lượng tử, ... Việc tìm giá trị riêng, vec tơ riêng,... của toán tử Laplace triệt tiêu vì vậy là một nhánh nghiên cứu của giải tích điều hoà.

Định nghĩa của Kakalotta chỉ là một định nghĩa cụ thể của giải tích điều hòa trừu tượng (giải tích trên các nhóm tô pô).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttt2511976: 26-10-2006 - 17:26

[bookworm_vn]

như đã biết, toán tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta là toán tử đặc trưng cho loaị toán tử elliptic, có thể nói cho đến hiện nay, các tính chất của toán tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta này đã được nghiên cứu đầy đủ về mọi phương diện (phổ, giá trị riêng, véc tơ riêng, tự liên hợp,..), người ta nhận thấy nó có đầy đủ tất cả các tính chất của 1 toán tử elliptic. Người ta cũng đã cố gắng mở rộng và nghiên cứu thêm các toán tử elliptic khác nhưng trên thực tế không thu được thêm những tính chất nào hay ho và mới, hơn nữa, việc tính toán cồng kềnh và phức tạp hơn rất nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 26-10-2006 - 19:21

[wavelet]

Cop nguyên xi chắc không nhầm lẫn gì, đây là cách hiểu giản dị và được viết rất cẩn thận và khiêm tốn:
Harmonic analysis is the study of objects (functions, measures, etc.),
defined on topological groups. The group structure enters into the study
by allowing the consideration of the translates of the object under study,
that is, by placing the object in a translation-invariant space. The study
consists of two steps. First: finding the "elementary components" of
the object, that is, objects of the same or similar class, which exhibit
the simplest behavior under translation and which "belong" to the object
under study (harmonic or spectral analysis); and second: finding
a way in which the object can be construed as a combination of its
elementary components (harmonic or spectral synthesis).

[Kakalotta]

Thì xét cho cùng đó là cái bước thứ 3 và bước thứ 4 mà tôi nói.
Quay trở lại vấn đề chính, tôi vẫn chưa thực sự hiểu tóan tử Laplace là thế nào. Đồng ý là có thể thu được các kết quả đẹp từ nó so với các tóan tử elliptic khác, nhưng vấn đề là tại sao lại như vậy, có gì đặc trưng ở đây?

[wavelet]

hì có gì khác nhau đâu. Câu hỏi về Laplacian thì vượt quá trí tưởng tượng của tôi nên tôi không tham gia làm gì.