Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Algebraic Topology


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 161 trả lời

#1 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 03-01-2005 - 19:13

Chúng mình lập 1 topic thảo luận về AT chứ. Nội dung có lẽ là topological K-Theory, characteristic Classes, Cohomology Operation và stable homotopy và các phần khác có liên quan như 3-Manifold và 4-Manifold hoặc ứng dụng của AT vào các lãnh vực pure Math cũng như physics.

Tớ đề nghị 1 chương trình khung như sau:
Có lẽ nên bắt đầu với topological K-Theory chăng. Các khái niệm Vector bundle, K-groups có lẽ nên coi như là đã biết. Trong Topo chúng ta chỉ xem xét các nhóm K_0. chứ không quan tâm tới higher dimesion như ở algebraic k-theory. Chính vì thể có lẽ chúng ta cũng bỏ qua luôn Grothendieck-Contrucstion, hay milnor-Construction không xuất hiện ở đây.

Sau đó là characteristic Classes mà cụ thể là Chern-, Stiefel-,Euler-, Pontryagin- Classes. Một mối liên hệ không thể thiếu có lẽ là Spectral Sequence cũng như Steenrod algebra của Cohomology Operation. Xa hơn chúng ta sẽ thọc sâu vào lãnh vực stable Homotopy đã được các bậc tiền bối đi trước như Novikov, Adams xây dựng. Ở đây người ta tìm đựoc mối liên hệ đẹp đẽ của Hopf algebra, formal groups với Topo.

Kiến thức cơ bản của AT được xem như là yêu cầu đầu tiên.
Xa hơn nếu ai biết các ứng dụng vào các lãnh vực khác cũng có thể post bài cho anh em được mở rộng tầm kiến thức, không phải chỉ trong pure Math.
Ví dụ như tớ cũng rất muốn được nghe về định lý Index của Atiyah-Singer trong quantum fields theory.

Tuy tên của Topic là AT nhưng cũng không giới hạn chỉ trong AT, chúng ta sẽ còn thảo luận cả Differentialtopology. Chẳng hạn như xét Cobodism dưới quan điểm của AT. Trong K-Theory chúng ta chỉ làm việc với các trường hợp oriented, tuy nhiên trong (Co)bodism sẽ có cả truòng hợp unoriented như thế không phải lúc nào K* cũng giống H*.

Nói chung làm việc với Manifold bao giờ cũng khó chịu hơn là làm việc với các Space thông thường ( dưới cái nhìn của AT).
1 đề tài đáng chú ý là Cohomology rings of grassmannians. Trong mục này tớ nghĩ mình nên đào sâu 1 chút về Frobenius-Manifold như thế có thể tìm hiểu được về Quantum Cohomology rings với các khái niệm sơ khai kiểu như (small) quantum product, và quantum schubert variatets.

Trong Cohomology Operation có lẽ nên mở đầu bằng Serre spectral sequence.
Không chỉ là toán học hình thức, mọi phương pháp hình học, làm cho người đọc dễ hiểu tớ nghĩ chúng ta (nếu ai biết) nên trình bày. Các ví dụ hình học cụ thể có thể lấy từ 3-,4- Manifold.

Tuy nhiên sẽ không tránh khỏi ngôn ngữ hình thức vì AT dùng nhiều Category, do đó các khái niệm kiểu như lim hay colim cũng nên giới thiệu sơ qua.
Tớ mong nhận được sự tham gia ủng hộ nhiệt tình của các bạn trong diễn đàn.

#2 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 22:54

Trước hết chúng ta hãy cùng giải quyết câu hỏi:
Cho X là 1 CW-complex và connected. Gọi X_n là các n-Skeleton của X. Câu hỏi đặt ra là làm sao xây dựng được 1 Sequence của Spaces X_n sao cho P_i(X_n) đẳng cấu P_i (X) trong trường hợp i <= n và P_i (X_n) = 0 cho i >n.
Ở đây P_i chỉ nhóm thứ i Homotopy.
Xin mời các bạn cùng tham gia xây dựng

#3 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 23:09

Câu hỏi thứ 2 cùng thảo luận: Không gian R^n có phải là 1 divison algebra không? Nếu có thì S^ (n-1) có là 1 H-space không?

1 câu hỏi tiêu khiển giải trí thuộc về AT: cmr
cái inclusion: G1 wegde sume G1 ----> G1 x G1 induces đẳng cấu trên H^2.
Trong đó G1 để chỉ đa tạp Grassmann 1 chiều của C vô hạn, hay đơn giản cứ gọi quách nó là CP vô hạn. Còn H^2 là nhóm thứ 2 Cohomology.

#4 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 23:36

Mối liên hệ với Hopf algebra:
Về mặt lý thuyết có thể chúng ta hãy đi từ một nhận xét đơn giản như sau về Cohomology:
Cho R là 1 vành giao hoán và là coefficient ring. Như đã biết từ cup product người ta có thể làm H*(X;R) của 1 không gian X thành 1 R-algebra.
Nếu X là 1 H-Space và thoả mãn:
(i) X là path-connected và như thế H°X isomorph với R. Tớ viết ngắn gọn không viết thêm R ở cohomology groups cũng như ring nhưng mình luôn hiểu R là coefficient ring.
(ii) H^n (X) là Modul hữu hạn sinh và tự do với mọi n, và như thế thì cross product H*(X) tensor over R với H*(X) ----> H*( X x X) là 1 đẳng cấu.
Còn vì tại sao lại kết luận như thế xem chi tiết lại AT.
Tiếp tục:
Phép nhân : X x X ---> X cảm sinh 1 ánh xạ:
(phép nhân)* : H*(X) ----> H*( X x X). Trong lý thuyết Cohomology thì các mũi tên thường đảo chiều khi dùng H*.
Vậy nên ta có: Ánh xạ f:
H*(X)---->H*(X) tensor over R với H*(X) là 1 algebra homomorphism vì (phép nhân)* và cross product đều là algebra homomorphism.
Với mọi a thuộc H^n (X) , với n >0 và H^n là nhóm thứ n Cohomology ta có:
f(a) = a tensor 1 + 1 tensor a + Tổng ( a'_i tensor a''_(n-i)), i chạy từ 1 đến n-1. và deg(a'_i) = i = deg(a''_i).

Câu hỏi làm sao có được điều khằng định trên? Sau khi cm được khẳng định trên thì làm sao chỉ ra được H*(X) là 1 Hopf algebra, tức là
H*(X) = Tổng trực tiếp của H^n(X) ( H* luôn được hiểu là 1 grad. ring) thoả mãn 2 điều kiện:
(1) tồn tại phần tử đơn vị 1 thuộc H°(X) sao cho ánh xạ R---> H° , r ---> r.1 là 1 đẳng cấu, ta gọi trong trường hợp này H* connected.
(2) Ta gọi ánh xạ f ( thoả mãn các tính chất ở khẳng định trên) là 1 coproduct và là 1 graded algebra homomorphism.

Tất nhiên việc liên quan tới Hopf algebra cũng đem lại nhiều điều thú vị trong trường hợp tính các polynom ring H* của 1 số không gian.
Sau khi giải quyết bài toán trên chúng ta sẽ làm 1 vài ví dụ và bài tập nho nhỏ hay hay.
Mời các bạn tham gia.

#5 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 04-01-2005 - 23:40

Stichwort: Postnikov Tower, Hopf algebra, Cohomology rings, division algebra, H-Space.

#6 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 05-01-2005 - 00:02

Hiện nay người ta cũng khá quan tâm đến lãnh vực Morava K-Theory vì nó liên quan mật thiết với Hopf algebra, formal groups, elliptic Cohomology, Adams-Novikov spectral sequence, stable Homotopy, Modular form . Nói ngắn gọn Morava K-Theory là spectra K(p,n) trong đó p là prime n>= 0.
Tính chất như sau: K(p,0)* X = H*(X;Q). Q rational field, dấu * ở đây được viết ở dưới tức là homology chứ không phải cohomology, nói chính xác hơn thì * viết ở dưới để chỉ Pontryagin ring
Như đã viết ở giới thiệu ở Hopf algebra thì trong phần Morava K-Theory này thì người ta làm việc với Dual cocommutative Hopf algebra
tương tự: K(p, vô hạn)* X = H*(X; F_p). F_p là trường hữu hạn p phần tử.
Một điều đáng chú ý là người làm việc với Brown-Peterson Cohomology từ Morava K-Theory với ý tưởng giống hệt Cohomology rings.
Hãy xem: BP* isom. với Z_(p) [v1 ,v2 , ....]. Với Z_(p) muốn nói là localisation của Z. Giống hệt cohomology ring người ta tính cho Brown-Peterson Cohomology là:
BP<q>* = Z_(p) [ v1,....,vq].
Mời tham khảo tại đây:

http://www.math.roch...ypapers/rwy.pdf

Chẳng hạn như người ta vẫn xây dựng được Chern Classes cho Morava K-Theory, rồi áp dụng được cả Adams operation trên BP*(CP vô hạn)

Vậy thì câu hỏi đặt ra là thế thì Morava định nghĩa cái K-Theory này làm gì cho mệt. Thực ra mục đích chính của Toán học cuối cùng luôn làm cho vấn đề trở nên dễ dàng hơn, muc tiêu là phải tính toán được những cái mà mình đặt ra. Thật như thế Morava K-Theory tính toán dễ hơn nhiều so với MU* và cũng là invariant của X.

#7 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 05-01-2005 - 00:54

Bài 1:
Cho q: RP vô hạn --> CP vô hạn là 1 natural quotient map nhận được bởi thông qua việc xem cả 2 không gian trên như là không gian thương của S vô hạn modulo multiplication bởi vô hướng thực trong trường hợp RP vô hạn và vô hướng phức trong trường hợp CP vô hạn.
cmr:
(1) Ánh xạ cảm sinh q* : H*(CP vô hạn; Z) ----> H* (RP vô hạn ;Z) là toàn ánh trên số chiều chẵn. Bằng lập luận hình học hãy chỉ ra rằng restriction q: RP^2 ---> CP^1 cảm sinh 1 toàn ánh trên H^2 và hãy cho biết về cup product structures.

(2) Gọi X là không gian thương của RP vô hạn disjoint union với CP^n nhận được bằng cách identify mỗi điểm x thuộc RP^2n với q(x) thuộc CP^n.
cmr: các rings sau:
H*(X,Z) đẳng cấu với Z[a]/(2a^ n+1 ) và H*(X;Z) đẳng cấu với Z_2 [a,b] / ( b^2 - a^ n+1 ) trong đó deg a = 2 và deg b = 2n + 1.
Bài 2:
Làm tương tự như bài tập trên cho trường hợp q: CP vô hạn --> HP vô hạn. Trong đó H là thể quaternion.

Kính mời các bạn cùng giải. Tớ cũng đang suy nghĩ bài này.

#8 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 05-01-2005 - 01:17

Lan man một tí sang quantum cohomology, thực sự thì quantum cohomology xuất phát từ 2 điều: một là kỹ thuật Gromov của các giả-holomorphic curves trong hình học symplectic và mô hình topological sigma của Witten. Lần đầu tiên quantum cohomology được phát biểu 1 cách toán học chặt chẽ bởi Ruan và Tian (khoảng năm 1993) trong khi nghiên cứu semipositive simplectic manifold và các classes quan trọng của Calabi-Yau và Fano manifold. Sau đó Maxim Kontsevich tổng quát quantum cohomology thành 1 hệ tiên đề trong cả algebraic và simpletic Category. Như đã nói trong Topic này chúng ta sẽ thảo chút xíu về small quantum cohomology rings bắng 1 số phương pháp của Hình học Đại số ( phương pháp bảng Young,..) của Topo Đại số ( classical cohomology rings) và đặc biệt là của commutative algebra ( flat, analytic deformation của Artinian C-Algebra).
Có thể chúng ta thảo luận theo từng chương của bài Note ngắn sau đây:
http://home.mathemat.../SurveyQCoh.pdf
Bài Note trên mang nhiều tính chất tóm tắt. Mời các bạn cùng đọc.
Tớ biết không nhiều về Hình học Symplectic, cái này có khi phải nhờ anh Kakalot post vài bài lên. Hình như có cuốn sách khá hay về geometric quantization của Likewood ( từ năm 1980) hay sao ý. Trong này có giới thiệu hình học symplectic.

#9 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 19-01-2005 - 20:58

Thôi mình xin trả lời câu hỏi thứ nhất: Rất đơn giản, áp dụng Postnikov Tower là xong. Đây chính là construction của Postnikov.

Câu hỏi đơn giản hơn là cái inclusion G1 wedge G1---> G1 x G1 hiển nhiên là cảm sinh 1 isomorphism trên H² , thứ nhất áp dụng Mayer-viectoris Sequence cho wedge Sum, và chú ý là H^n (G1 wegde G1) sẽ isomorph với H^n ( G1 direct summe G1).
Như đã biết G1 direct summe G1 chính là CP vô hạn direct summe CP vô hạn. Như thế nhóm 2-Cohomology của nó là Z[a1] direct summe với Z[a2]. Với a1, a2 là generator.
Bay gio` ap´ dung Künneth-formula cho nhom´ H² cua G1 x G1. Chu´ y´ rang` tensor product cua 1 vanh` voi´ 1 cung chinh´ la` vanh` do´.
Nhu the 2-cohomology cua G1 x G1 bang` Z[a1] tensor 1 direct summe 1 tensor Z[a2] , suy ra 2 nhom´ isomorph voi´ nhau.

#10 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 19-01-2005 - 21:00

Cau hoi thu 2 la` divison algebra va` H-space. Thi` ca 2 cau tra loi` cho 2 cau hoi do´ de^u` positiv. R la` division algebra, va` S^n-1 la` H-space. Chung´ minh cung don gian thoi.

#11 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 20-01-2005 - 16:57

:cry :cry , hinh nhu khong ai muon tham gia chu de algebraic Topology cua minh` ca?. Khong biet moi nguoi co biet cuon A History of algebraic and Differential Topology cua J.Dieudonne´ khong?. Doc cuon nay` cung kha´ hay, vi` no giup´ minh` co 1 cai´ nhin` kha´ khai´ quat trong ca 2 lanh vuc nay` tu` nam 1900 den 1960. Tuy nhien trong nay` hinh nhu khong trinh bay` cac´ ky thuat cm 1 dinh ly´, bu` lai no´ chi ra cho ra rat´ nhieu ung´ dung cua AT cung nhu DT trong algebraic Geometry.
Ne^ u´ ai muo^ n´ doc ve^ ` cac´ phuong phap´ AT trong AG thi` nen doc sach´ method of algebraic Topology in algebraic Geometry cua Hizerbruch. Ngay` nay nguoi` ta muon y´ tuong cua AT xay dung cac´ classes trong AG, vi´ du chern classes va` chern character cung duoc dua vao` xay dung trong algerbaic geometry. Thuc chat ma` noi´ cach´ trinh` bay` cua AT theo nhu to´ cam nha^ n thi` bao gio` cung tu nhie^ n va` trong sang´ hon la` cach´ trinh` bay` cua AG. Tuy nhie^ n co^ ng cu. Dai so^ ´ cua AG thi` bao gio` cung manh. hon la` AT.
Ho^m no to´ co´ nghe 1 bao´ cao´ ve^` : connected 1-dimensional Fields theory cua 1 Physicsist, tha^y´ ga^n` nhu cac´ y´ tuong cua AT, AG, analysis, va` physics kha´ tie^n´ ga^n` de^n´ nhau. Vi´ du to´ tha^´y rat ngac nhie^n khi cac´ nha` Va^t ly´ ung´ dung duoc ca vector bundles vao` quantum field theory. Hay ga^n` da^y xua^t´ hie^n mo^ n quantum homotopy theory.
Hinh` nhu mo^t´ cua thoi` dai. hie^n nay la` gan´ ta^t´ ca cac´ mo^n Toan´ hoc the^m 1 chu quantum, nhu the^´ la` xua^t´ hie^n 1 mo^n toan´ hoc moi´ !!!!.
Khong biet co khi nao` xuat´ hie^n bo^. mo^ n Super quantum .... trong toan´ kho^ng nhi? , kieu nhu cac´ nha` vat ly´ bay gio` con` phat´ trien ca mo^ n goi la` Super analysis cung nhu Super algebra.
Trong ly´ thuye^t´ Strings theory cua Vat ly´ , to´ thay´ nguoi` ta phat´ trie^n do^ng` thoi` 1 luc´ 2 loai Cohomology. 1 cua Algebraic Topology do´ la` elliptic Cohomology va` topological Modular form, 2 la` cua algebraic geometry: quantum cohomology. Thuc ra to´ cung chua thay´ duoc mo^i´ lie^n he^ nao` giua 2 ly´ thuye^t´ nay`.
Ga^n` day trong math.Physics nguoi` ta con` sang´ tao ra ca Eicher Cohomology. Tu` Eicher la` xuat´ phat´ tu` 1 nhanh´ cua quantum fields theory: ly´ thuye^t´ eicher.
Xem ra nhung tac´ do^ng manh me cua Toan´ hoc vao` Vat ly ly thuyet lam` cho Vat ly ly thuyet tro ne^n khung hoang. Qua´ nhie^u` ly´ thuye^t´ ra doi` ma` kho^ng ai co the kie^m chung´ duoc tre^n thuc te^´.
Do^i´ voi´ nhung nguoi` lam` Toan´ chung´ ta, thi` tro^ng co´ ve chung´ ta dung´ ngoai` cuo^c, co´ ve nhu chung´ ta lam` dung´ trach´ nhie^m cua 1 nha` toan´ hoc.: Muon cac´ y´ tuong Vat ly´ phat´ trien toan´ hoc, nhung thuc ra chinh´ chung´ ta dang lam` 1 viec he^t´ suc´ nguy hie^m?.
Chung´ ta lam` cac´ nha` vat ly´ hoang mang, la^m` duong` lac lo^i ´ trong cac´ ly´ thuye^t´ abstracts cua chung´ ta. Co´ ai nghi rang` , 1 ngay` nao` do´ thuc nghie^m phat´ hie^n va` kie^m chung´ ra duoc, ta^t´ ca? cac´ mo^n Toan´ hoc cua chung´ ta, cai´ ma` duoc gan´ the^m chu quantum vao`, de^u` la` vut´ di, sai la^m` . Nhu the^´ thi` qua la` 1 die^u` ba^t´ hanh.
Tuy nhie^n chung´ ta co´ the^? noi´ rang`: Chung´ to^ i lam` Toan´ , chu´ co´ lam` Vat ly´ da^u. Nhung ne^u´ ung´ dung cua Toan´ ma` sai, thi` co´ nghia ca cai´ ly´ thuye^t´ Toan´ hoc cua chung´ ta dang´ vut´ di. Chang han quantum cohomology, co´ le ngay` nay no´ chi con` la` 1 mo^ n Toan´ hoc thua^n` tuy´ .
Va^y chung´ ta nghie^n cuu´ no´ lam` gi` nhi? Chi de thoa man tri´ to` mo` cua chung´ ta trong toan´ hoc tho^i sao? Hay ca ly´ thuyet Knot cung the^´. No´ co´ the^? la` mo^n Toan´ hoc voi´ tri´ tue^. ra^t´ cao, nhung chua chac´ nhung ung´ dung cua? Knot theory da la` dung´ dan´.
Thuc ra, cai´ chinh´ la` tai 1 so^´ cac´ nha` Va^t ly´, ho ap´ dung toan´ hoc cua chung´ ta 1 cach´ mu` quang´, thanh` ra Vat ly ly thuyet ngay` nay ne^n goi la` quasi-mathematic, chu´ ko con` la` vat ly´ nua. 1 kie^u? cua Toan´, nhung khong co´ cm trong do´, ma` chi co´ ung´ dung nhung thanh` qua cua Toan´ hoc hie^n. dai.

#12 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 21-01-2005 - 19:10

Nha^n tie^n cho minh` hoi co´ ai da bie^t´ Cohomology Operation chua nhi, vi du nhu Steenrod squares, steenrod algebra.... Sap´ toi´ to´ cung dang phai hoc bai` nay`, chac´ se Post le^n da^y vai` doan Introduction, mong cac´ anh em khac´ chi bao the^m cho voi´ .

#13 Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
  • Đến từ:Nowhere
  • Sở thích:Em yêu

Đã gửi 23-01-2005 - 10:42

Mình có biết một chút về toán tử steenrod nhưng không thành thạo gì cho lắm. Nó được hiểu như là các toán tử tự nhiên tác động lên các đại số đối đồng điều với hệ sô Zp, và do đó tạo nên một cấu trúc nội tại của trên các không gian đối đồng điều của các không gian topo. Ví dụ như hai không gian có các đại số đối đồng điều đẳng cấu với nhau nhưng các toán tử này tác động khác nhau thì không đẳng cấu với nhau. Cách xây dựng của nó thì rất dài dòng và mất việc, nên người ta thường định nghĩa qua các tiên đề. Cái này mình không thạo, hi vọng quantumcohmology sẽ giúp mình nắm rõ hơn vấn đề.
Thực ra mình đã có tìm cách tìm cách xây dựng tử toán tử steenrood cho đại số đối đồng điều với hệ số trên trường C, nhưng vẫn cảm thấy khá là vô vọng vì nó phụ thuộc khá chặt chẽ vào tính xoắn của trường. Mọi người có ai biết thông tim gì liên quan đến cách xây dựng toán tử này cho các trường không xoắn như C không? Nếu như có thể xây dựng lý thuyết này và sau đó suy rộng cho các C*-algebra thay cho các khong gian topo thì ta có thể thu được một công cụ rất mạnh của noncommutative geometry và dẫn tới một cách phân loại của những không gian topo rất tồi, vídụ như là đối ngãu của một nhóm hay là không gian các lá của một phân lá chẳng hạn. Theo mình biết thì sự suy rộng này đã được thực thi thành công với một số lý thuyết đối đồng điều suy rộng khác như K-lý thuyết. Hay như đã có một số xây dựng về các noncommutative CW phức, noncommutative chern hommorphism.
PhDvn.org

#14 Doraemon

Doraemon

    Mèo Ú

  • Hiệp sỹ
  • 239 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Lang thang, thơ thẩn, nếm vài món ngon...

Đã gửi 23-01-2005 - 22:55

Em nghĩ là tính xoắn là cốt yếu để xây dựng đối đồng điều.
Còn không xoắn thì...
Thân lừa ưa cử tạ ! :)

#15 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 24-01-2005 - 17:31

Em chi biet co 2 phuong phap´ xay dung Steenrod squares, 1 phuong phap´ kha´ phuc´ tap ve mat geometrical bang` cach´ su dung S^vohan va` lens space, 1 phuong phap´ hinh` thuc´ su dung cup-i product. Em se trinh bay ca 2 phuong phap´ nay`. Con` viec xay dung Steenrod Algebra thi` cung de hieu tho^i, dung` diagonal maps giong nhu truong` hop Hopf algebra. Viec su dung Zp thi` cung tuong tu nhu Z2, ne^n co´ khi chung´ ta chi ca^n` trinh` bay` tre^n Z2 la` du.

#16 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 25-01-2005 - 17:56

Theo nhu co^ng trinh` cua Wu thi` Wu chi ra mo^i´ quan he^ giua Steerod squares va` Stiefel-classes. Die^u` nay` con` duoc Atiyah-Hirzerbruch phat´ trie^n thanh` Cohomology-Automorphisms voi´ Characteristic classes to^ng quat´.
Do^i´ voi´ truong` kho^ng xoan´ ( torsionfree) thi` em cung khong ro lam´. 1truong` hop thu´ vi trong truong` hop co´ torsion co´ le la` Aut(Zp).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 25-01-2005 - 17:58


#17 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 26-01-2005 - 22:13

Anh Kaka, em co´ thang` ban dang lam` PhD, no´ cung lam` do^i chut´ C*-algebra, hie^n lanh vuc no´ quan ta^m kho^ng bie^t´ anh cung quan ta^m kho^ng, do´ la` lam` sao twist duoc K-Theory tre^n quantum fields theory. Cung kha´ "gio^ng gio^ng´" ( em kho^ng bie^t´ gi` da^u, da^y la` nghe noi´), voi´ viec xa^y dung chern-connes-character trong noncommutative geometry, hay dai loai C*algebra gi` do´ ( cai´ ma` tha^y` Do ngoc Die^p da phat´ trie^n ).
Ve^` ca^u hoi trong truong hop torsionsfree C, em vua noi´ chuye^n voi´ o^ng tha^y` giao´ va` nghe 1 seminar ve^` algebra over Ringspectrum, thi` em nam´ hoi lo* mo* rang`: Viec xay dung Steenrod squares tre^n do´ hinh` nhu co´ the tho^ng qua Spectral sequences, hay E_vo^ han Ring gi` do´, o do´ nguoi` ta xay dung Potenz-operation.......... bla bla bla. Ta^t´ nhie^n con` tuy` thuo^c vao` nguoi` ta hie^u the^´ nao` la` 1 spectrum. Cai´ ma` em nghe co´ le la` spectrum theo nghia stable homotopy hay con` goi la` spectral category.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 26-01-2005 - 22:15


#18 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 31-01-2005 - 21:57

Co´ ai bie^t´ gi` ve^` Dieudone´ Modules thi` Post le^n voi´ cai´. Nhie^m vu cua to´ la` dang chuan bi ve^` steenrod squares cung nhu steenrod algebra.

#19 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 01-02-2005 - 23:53

Truoc khi trinh` bay` ve^` steenrod squares cung nhu steenrod algebra, to´ muo^n´ nhac´ de^n´ so qua 1 chut´ ung´ dung cua algebraic Topology vao` Ly´ thuye^t´ truong` luong tu. Mong cac´ ban hoc Va^t ly´ ly´ thuye^t´ bo qua cho nhung lo^i~ cua to´ ( ne^u´ to´ mac´ phai).
Da^u` tie^n hay noi´ do^i chut´ ve^` Spin-Structure trong truong` hop Riemann va` duoc trang bi voi´ 1 toan´ tu Dirac:
Goi M la` 1 da tap Riemann dinh huong´, goi T(M) la` Tangent bundle cua M voi´ nhom´ quay SO(n) duoc goi la` nhom´ ca^u´ truc´ ( Structural group).
Ne^u´ ta co´ the^ replace SO(n) boi? nhom´ phu? 2-fold cua no´ la` Spin(n) thi` M duoc trang bi 1 ca^u´ truc´ Spin.
Goi Kxi la` 1 principal bundle tre^n da tap Riemann B, voi´ total space la` E(kxi). Nhom´ ca^u´ truc´ cua Kxi duoc gia thie^t´ la` SO(n), n>0. 1 ca^u´ truc´ Spin tre^n Kxi la` 1 pair (eta, f) voi´ eta la' 1 principal bundle tre^n B, voi´ total space E(eta) va` nhom´ ca^u´ truc´ voi´ Spin(n) va` f la` 1 anh´ xa: E(eta)-->E(kxi) sao cho f p1 = p2 (f . lamda), trong do´ lamda la` 1 do^ng` ca^u´ tu` Spin(n)--->SO(n), p1 la` tac´ do^ng be^n phai cua Spin(n) va` p2 la` tac´ do^ng be^ n phai cua SO(n).
Da^u` tie^n nguoi` ta di tu` E(eta)xSpin(n) toi´ E(eta) via right translation, sau do´ dung` projection map tu` E(eta) --> E( Kxi). Tuy nhie^n cung co´ the^ su dung projection map f.lamda tu` E(eta)xSpin(n) --> E(kxi)xSO(n).
Ba^y gio` ta dinh nghia 1 ca^u´ truc´ Spin tre^n Kxi, do´ la` 1 cohomology class xichma thuo^c H^1 (E(kxi);Z2) , sao cho cac´ restriction cua cac´ class nay` tre^n mo^i fibre la` 1 generator cua nhom´ cyclic H^1(fibre, Z2).
Tho^i he^t´ hung´ ro^i`, ai co´ hung´ post bai` ve^` Spin-Manifold kho^ng?

#20 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 02-02-2005 - 22:29

Chung´ ta hay cung` thao lua^n 1 vi´ du nho nho sau: y´ tuong xay dung Steenrod squares. Noi´ chung nguoi` ta co´ the xay dung ngay trong truong` hop to^ng? quat´ voi´ Coeffiecient Zp, tuy nhie^n trong truong` hop p=2 va` truong` hop to^ng quat´ kho^ng khac´ nhau la` ma^y´.
Cup product square a² voi´ a thuo^c nhom´ n-Cohomology H^n (X;Z2) co´ the duoc bie^u dien nhu compositon cua X-->"từ cấm"--->K(Z2;2n). Trong do´ anh´ xa thu´ nha^t´ X--->"từ cấm" chinh´ la` diagonal map va` anh´ xa thu´ 2 la` bieu dien cua cross product, voi´ chu´ y´ la` K(Z2;2n) la` 1 eilenberg-maclane-space. Xet´ transposition sau T: "từ cấm" ---> "từ cấm" voi´ T(x1,x2) = (x2,x1).
Nguoi` ta nha^n tha^y´ rang` to^n` tai 1 Homotopy f_t : axa--->(axa)T trong do´ axa muo^n´ noi´ la` cross product cua 2 classes Cohomology. f_t(T) la` 1 homotopy tu` (axa)T --->(axa)T² = axa. Nhu the^´ chung´ ta co´ 1 loop. Ve^` mat hinh` hoc to^n` tai 1 map: S^1"từ cấm"X ---> K(Z2;2n).
Tie^p´ theo ly´ lua^n nhu sau S^1-->D² la` 1 map nha^n duoc tu` viec identify D² voi´ hemisphere cua S², ne^n to^n` tai 1 map S² "từ cấm"X ----> K(Z2;2n). qua´ trinh` nay` duoc lap di lap vo^ han la^n`, do do´ to^n` tai 1 map nhu sau : S^ vohan "từ cấm"X ---> K(Z2;2n). Ke^t´ hop voi´ map sau : S^ vohan xX ----> S^ vohan "từ cấm"X ta thu duoc 1 map S^vohan x X ---> S^vohan x "từ cấm" ---> K(Z2;2n).
anh´ xa S^vohan x X ---> K(Z2;2n) cam sinh 1 quotient map RP^vohan xX--->K(Z2;2n) boi vi` chung´ ta da bie^t´ rang` RP vo han = colim RP^n = colim S^n/~.
Theo nhu Künneth-formula chung´ ta co´ H^2n (RP^vohan x X;Z2) isomorph voi´ to^ng truc tie^p´ cua H^i (RP^ vo han) tensor voi´ H^j ( X). chu´ y´ rang` H*(RP^ vo han) = Z2[w], voi´ w la` Stiefel-class.
Nhu the^´ chung´ ta co´ the bieu dien va` dinh nghia Steenrod square nhu sau:
Sq^i (a) =
:tong: w^ (n-i) . a_i.
Anh Kaka co´ the post bai` ve^` cac´ tinh´ cha^t´ cua Steenrod squares kho^ng? Co´ hinh` nhu khoang 7 cai´ gi` do´ ( co´ the nhie^u` hon ma` em kho^ng bie^t´ ), ne^u´ tie^n the noi´ so qua moi^´ tuong tac´ cua Steenrod algebra voi´ Adems relation thi` cung hay.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 02-02-2005 - 22:34





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh