Chủ đề này có 161 trả lời

[quantum-cohomology]

tuy đây là 1 topic chết đã lâu, nhưng nay mình có 1 câu hỏi rất fundamental và cụ thể. Tính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n vào đa tạp đó.

[Doraemon]

Nhúng cả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C^n} vào đa tạp được sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon: 25-11-2005 - 13:14

[quantum-cohomology]

tất nhiên là nhúng được. Cậu có thể lấy ví dụ đa tạp đại số xạ ảnh. Đây là 1 đa tạp compact, nhưng nhúng được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n vào nó. Ngược lại không phải đa tạp phức nào cũng nhúng được vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n, đây là điểm khác biệt lớn giữa thực và phức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 25-11-2005 - 17:04

[Pau]

Theo quantum-cohomology

...không phải đa tạp phức nào cũng nhúng được vào  C^n, đây là điểm khác biệt lớn giữa thực và phức.

Vậy khi fix cái đa tạp phức và chọn n đủ lớn thì có nhúng được không, quantum-cohomology ?

Mình nhớ không nhầm thì đa tạp khả vi n chiều bất kỳ đều có thể nhúng được vào R^{2n+2}. Còn trong trường hợp phức, nếu không nhúng được thì khó làm việc với đa tạp phức quá !.(Có cái gì để đo, cộng, trừ, nhân và chia nhỉ ?)

[quantum-cohomology]

Trong trường hợp tổng quát không thể nhúng 1 đa tạp phức vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^N, với N đủ lớn. Điều này rất dễ hiểu, trong trường hợp thực, người ta có các hàm trơn để gắn các tập mở thành 1 đa tạp, do đó người ta có định lý Whitney về sự nhúng đa tạp. Nhưng đa tạp phức thì không phải hình thành bằng cách gắn các tập mở với nhau bằng hàm holomorph, chẳng hạn ở mức global thì các hàm holomorph trên đa tạp compact chỉ là hằng số. Chỉ có các đa tạp Stein mới có thể nhúng được . Tuy nhiên làm việc với đa tạp phức dễ chịu hơn đa tạp thực vì các đa tạp phức đa phần là các đa tạp đại số, do đó có thể miêu tả nó explizit qua Zero sets của Polynomials, hoặc của holomorphic functions.

[quantum-cohomology]

Pau hình như làm hình học đại số, làm vào đây vài cái về Divisor đi, mình sẽ trình bày Divisor theo quan điểm của Sheaf cohomology. Bắt nguồn từ giải tích phức, phần Cousin problem. Cái này rất hay, dẫn tới Riemann-Roch và Atiyah-Singer theorem.

[Pau]

Nghe quantum-cohomology hơi bị trừu tượng đấy. Làm ơn cho một ví dụ đơn giản về

..không phải đa tạp phức nào cũng nhúng được vào  C^n, ngay cả khi n rất lớn, đây là điểm khác biệt lớn giữa thực và phức.

Chẳng hạn, có một đường cong phức hay mặt cong phức nào không nhúng được vào C^n, ngay cả khi n rất lớn.

Mà cái "sự nhúng" cũng hay lắm đó. Ngay "nhúng" đường thẳng vào C^n cũng rắc rối lắm.

[LHTung]

Đa tạp phức cũng là gắn các tập mở bằng ax giải tích thôi . Nhưng khó nhúng là vì ax chỉnh hình là rất chặt , chặt hơn ax khả vi nhiều ( rất nhiều hàm "đơn giản" liên tục khắp nơi nhưng không chỉnh hình tại bất kì điểm nào trong khi thay chỉnh hình = kkhar vi thì hơi phức tạp ) . Vì thế , dễ hiểu vì sao lại khó nhúng đa tạp phức vào http://dientuvietnam...mimetex.cgi?C^n .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LHTung: 26-11-2005 - 14:06

[Pau]

LHtung à

dễ hiểu vì sao lại khó nhúng đa tạp phức vào C^n

Nhưng giữa cái "khó" và cái "không thể" thì quả là khó hiểu. Nó cũng giống giống như chuyện người ta biết rằng

Chỉ có một cách nhúng đường thẳng phức C vào mặt phẳng phức C^2 (sai khác đẳng cấu). Nhưng người ta không biết điều đó có đúng với chuyện nhúng đường thẳng phức C vào C^3 hay không, và liệu có 1 hay bao nhiêu cách nhúng như vậy.

[quantum-cohomology]

Đơn giản thôi, Pau có thể nhúng được không?

[Pau]

Trong P(V), V là gì quantum-cohomology?

Mà thôi, quantum-cohomology chịu khó viết vài dòng dài dài kể cho mọi người nghe:

1) Ví dụ đơn giản về "đa tạp không nhúng được";

2) Cái gì có thể đặc trưng cho "đa tạp không nhúng được";

3) sâu xa hơn, cái gì qui định đa tạp nhúng hay không nhúng được?

Mà quantum-cohomology là tác giả của cái topic Algebraic topology này đấy nhé !

[LHTung]

Trong  P(V), V là gì quantum-cohomology?

Mà thôi, quantum-cohomology chịu khó viết vài dòng dài dài kể cho mọi người nghe:

1) Ví dụ đơn giản về "đa tạp không nhúng được";

2) Cái gì có thể đặc trưng cho "đa tạp không nhúng được";

3) sâu xa hơn, cái gì qui định đa tạp nhúng hay không nhúng được?

Mà quantum-cohomology là tác giả của cái topic  Algebraic topology này đấy nhé !

Trả lời hộ QC cái nhỉ :

1) Đa tạp xạ ảnh phức n chiều .

2) Chẳng hạn đa tạp không metric hóa được hay đa tạp không khả li ( các đk topo) .

3) Câu này khó : theo mình biết thì chưa có điều kiện cần vả đủ để đa tạp phức nhúng được vào http://dientuvietnam...mimetex.cgi?C^k ( trường hợp thực thì đk rất đơn giản là có cơ sở topo đếm đc <=> metric hóa được và khả li ) . Các đa tạp Stein có các đk rất mạnh thành ra phép nhúng cũng mạnh , đó là nhúng đóng . Vì vậy , có thể nghĩ các lớp đa tạp rộng hơn mà vẫn nhúng đc nhưng không là đóng .

Ai có thông tin gì về nhúng đa tạp phức không Stein thì post nhé .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LHTung: 28-11-2005 - 13:15

[Pau]

Thank LHTung.

Với câu trả lời thứ nhất Pau có thể dễ hiểu lý do vì sao. Chẳng hạn, đa tạp xạ ảnh thì compact. Còn mọi đa tạp đại số con của C^n thì không thể compact, trừ trường hợp là tập hữu hạn điểm.

Với câu thứ 2, vì mọi đa tạp đại số con của C^n đều metric hóa được và đều là kgtp khả ly.

Nhưng các lý do như "Compact", "không metrric hóa được" hay "không khả ly" đều chỉ là các " reasons in topology".

Chẳng lẽ cái chuyện " Nhúng được hay không" chỉ phụ thuộc vào tô pô sao ? Phải chăng là phụ thuộc vào cả cấu trúc phức nữa?

Ngoài ra, LHTung có thể giải thích ngắn gọn, và , tất nhiên, dễ dàng để hiểu,

Vì sao đa tạp Stein lại nhúng được ?

[quantum-cohomology]

Pau có thể cm định lý sau đây trong 1 dòng: Trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^n không tồn tại đa tạp con compact với số chiều dương.

[Pau]

Pau xin phép nhường cho QC hoặc bạn nào đó viết cái chứng minh 1 dòng này nhé. Pau còn phải tự đi tìm Pau đã.

[quantum-cohomology]

Tại sao đa tạp Stein lại nhúng được. Híc híc muốn trình bày điều này thì phải trước hết nói về Theorem A và B cũng như Cousin-Problem I và II. Sau đó mới đi vào Embedding theorem. Nếu M là 1 đa tạp Stein số chiều n, thì có thể nhúng nó vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^{2n+1} Để cm điều này thì cần phải đọc hết luận án tiến sĩ khoa học của Remmert hoặc có thể đọc các bài báo sau đây:
1. Narasimhan: Imbedding of holomorphically complete complex spaces. Am.J.Math. 82, 917-934 (1960)
2. Bishop: Mapping of partial analytic spaces. Am.J.Math.83 209-242 ( 1961).
Theo như trong cuốn from holomorphic functions to complex manifolds của fritzsche thì Forster đã cm, mọi đa tạp stein 2 chiều có thể nhúng vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^4 nhưng không nhúng được vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C}^3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 01-12-2005 - 01:07

[madness]

Invariance domain theorem được phát biểu như sau: if U is an open subset of R^n and f:U --> R^n is continuous and injective, then f(U) is open in R^n and f is an imbedding.

Một hệ quả của định lý sau là: Given n<>m. Then there does not exist two open subspaces of R^n and R^m such that they are homeomorphic.

Xin mở rộng hệ quả trên với câu hỏi sau:

Definition: a dim-n space is a space X in R^n such that X has a subspace U that is homeomorphic to the open unit ball B^n in R^n.

Question: Given n<>m. Are there any two closed dim-m and dim-n spaces that are homeomorphic?

Question: Given n<>m. Are there any two dim-m and dim-n spaces that are homeomorphic?

mad chưa nghĩ ra cách giải quyết, có ai chỉ giúp ko ạ?

[math_phd2010]

Invariance domain theorem được phát biểu như sau: if U is an open subset of R^n and f:U --> R^n is continuous and injective, then f(U) is open in R^n and f is an imbedding.

Một hệ quả của định lý sau là: Given n<>m. Then there does not exist two open subspaces of R^n and R^m such that they are homeomorphic.

Suppose that there exist a homeomorphism f: S^m ---> S^n (with m<>n). Then we must have:
induced map f* : H_m (S^m) ----> H_m (S^n) is isomorphic. This implies that there is an isomorphism from Z to 0. Contradiction!
Thus there is no homeomorphism from S^m to S^n with m<>n.

[madness]

Còn vài cách để chứng minh hệ quả này:

1. Suppose m < n, and U in R^m, V in R^n are homeomorphic.
Then there exists a continuous and injective map (V --> U >--> R^m >--> R^n), and the image of this composition map must be open in R^n, which is a contradiction.

2. Use local homology, suppose f: U --> V is a homeomorphism, x is a point in U, f(x)=y.

Then H(B^m,B^m-x)=H(U,U-x)=H(V,V-y)=H(B^n,B^n-y) --> contradiction.

Nhưng còn hai câu hỏi sau thì đang chưa biết giải quyết thế nào.

Question: Given n<>m. Are there any two closed dim-m and dim-n spaces that are homeomorphic?

Question: Given n<>m. Are there any two dim-m and dim-n spaces that are homeomorphic?

[BũiLeAnh]

Mình mới thấy một đề thi môn topo đại số. Cái đề cũng có vài bài thú vị nên post lên. Nếu bạn nào có hứng thú thì bình luận cho vui.

File gửi kèm

•  exam1.pdf   33.49K   30 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BũiLeAnh: 27-10-2006 - 02:00