Chủ đề này có 3 trả lời

[new]

Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Với $M$ thuộc miền tứ giác $ABCD$, $MG$ cắt mặt bên của hình chóp tại $N$. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
$$Q = \frac{MG}{NG}+\frac{NG}{MG}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-06-2013 - 22:37

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng     cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng     sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 27/06 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng     sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[AnnieSally]

Giả sử O là giao điểm 2 đường chéo hình bình hành ABCD

MO cắt AD,CD lần lượt tại E và F ; MG cắt SF tại N là giao của MG và mặt bên của hình chóp 

+) GTNN:

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: $Q=\frac{MG}{GN}+\frac{NG}{MG}\geq 2\sqrt{\frac{MG}{GN}.\frac{NG}{MG}}=2$

 

Vậy Q đạt GTNN khi $\frac{MG}{GN}=\frac{NG}{MG}$ hay MG=GN

Tam giác SEF: ta kẻ từ N đường thẳng song song với EF cắt SO tại K

 

Ta có: $\frac{KG}{GO}=\frac{GN}{MG}=1\Rightarrow SK=KG=GO=\frac{1}{3}SO\Rightarrow \frac{KN}{OF}=\frac{SK}{SO}=\frac{1}{3}\Rightarrow KN=\frac{OF}{3}$

Vậy M là tập hợp những điểm nằm trên cạnh hình bình hành A'B'C'D' có các cạnh song song với các cạnh của hình bình hành ABCD và có cạnh bằng $\frac{1}{3}$ hình bình hành ABCD

 

+) GTLN

Giả sử tam giác SEF cố định (1)

Điểm M chạy trên EF ta tìm GTLN của Q 

Tam giác MNF: kẻ từ G đường thẳng song song với SF cắt OF tại H và từ G kẻ đường thẳng song song với SE cắt OE tại U

$\Rightarrow Q=\frac{MG}{NG}+\frac{GN}{MG}=\frac{MH}{HF}+\frac{HF}{MH}(2)$

 

Ta lại có: $\frac{HF}{OF}=\frac{SG}{GO}=\frac{2}{3}\Rightarrow HF=\frac{2OF}{3}=a$( không đổi)

$\Rightarrow OH=OU=\frac{a}{2}$

Ta luôn có: $MH\geq OH=\frac{a}{2}$(do M ở cùng phía với OE còn nếu ở cùng phía với OF thì ngược lại);$ MH\leq EH=2a$

$\Rightarrow \frac{a}{2}\leq MH\leq 2a(3)$

 

$\Rightarrow \frac{a}{2}\leq \frac{MH}{a}+\frac{a}{MH}$

Đặt MH=x, xét hàm số f(x)=$\frac{x}{a}+\frac{a}{x}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{a}-\frac{a}{x^{2}}=\frac{(x^{2}-a^{2})}{ax^{2}}$

Từ 3 ta được: 

Nếu $a<x\leq 2a\Rightarrow f(x)>0 \Rightarrow f(x)$đồng biến $f(x)\leq f(2a)=\frac{3}{2}$

Nếu $\frac{a}{2}\leq x\leq a\Rightarrow f(x)<0$ (nghịch biến) $\Rightarrow f(x)\leq f(\frac{a}{2})=\frac{3}{2}$

 

Vậy Q đạt GTLN khi MH đạt GTLN =$\frac{3}{2}$ khi M trùng E hoặc trùng O

Chứng minh tương tự cho giả thiết tam giác SEF quay quanh cạnh SO ta đều được GTLN là $\frac{3}{2}$

Vậy tập hợp các điểm M để Q đạt GTLN là các điểm nằm trên cạnh hình bình hành ABCD và trùng với tâm O của ABCD với GTLN của Q là $\frac{3}{2}$

   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 26-06-2013 - 20:23

[PSW]

Chấm bài:

AnnieSally: 50 điểm